Mécanique des fluides compressibles

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Mécanique des fluides compressibles

Message par TonyMDS » 17 févr. 2022 15:39

Bonjour,

Je dois évaluer les pertes de charges régulières et singulières d'air comprimé dans une tuyauterie avec divergents/convergents le long d'une ligne de courant.

Je me place dans les conditions d'applicabilité des équations d'Euler et de Barré de Saint-Venant, fluide compressible haute vitesse, nombre de Mach proche de 1,2.

Je me demandais si, à l'instar du théorème de Bernoulli, il faut corriger la relation concernant les pertes de charges, par un correctif adiabatique résultant de la compressibilité de l'air (effets de la pesanteur négligés dans mon étude) : voir pièce jointe.

Dans la littérature scientifique, je ne parviens pas à trouver la réponse à cette question. Le bon sens m'indique de conserver ce correctif mais le doute subsiste.

Pouvez-vous confirmer/infirmer, et m'expliquer pourquoi, s'il vous plaît ?

Bien cordialement.

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Re: Mécanique des fluides compressibles

Message par H2Fooko » 17 févr. 2022 17:52

Bonjour TonyMDS,
Sauf erreur de ma part je n'ai pas vu de pièce jointe (j'ai testé 2 navigateurs internet).
Est-tu en école ou en prépa ?
Le delta avec / sans correctif est-il significatif pour ton utilisation ?
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Re: Mécanique des fluides compressibles

Message par Kieffer Jean » 18 févr. 2022 14:53

à mon avis, il faut chercher une référence sur les techniques de l'ingénieur...

car ça doit être beaucoup de semi empirique...
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Re: Mécanique des fluides compressibles

Message par TonyMDS » 18 févr. 2022 17:28

Le "semi-empirique" dont tu parles intervient effectivement dans les formules de pertes de charges, les abaques le fournissent sans problème.
Là, il s'agit d'apporter ou non un correctif à la relation liant ces pertes à la dissipation de l'énergie.

Image

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Re: Mécanique des fluides compressibles

Message par H2Fooko » 18 févr. 2022 17:54

TonyMDS,
As tu les moyens d'effectuer une manip pour vérifier tes premiers ordres de grandeurs obtenus avec tes calculs avec / sans correctif ?

Du style pompe à vélo 😋 muni d'aiguilles plus ou moins fines de diamètre connu pour calibrer ton modèle ?
Bon ok il faudrait pouvoir mesurer les débits / vitesses et les pressions en amont / aval ?

Qui dit empirique dit allers / retours entre la modélisation et l'expérience ...
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Re: Mécanique des fluides compressibles

Message par Hibiscus » 19 févr. 2022 09:10

Bah pour moi, il faut se poser la question dans l'autre sens, "d'où sort ce facteur de correction, et pourquoi il a été rajouté?".

Concrètement, dans le monde des fluides compressibles, lorsque les effets de compressibilité dans un fluide ne sont plus négligeables, autrement dit, " vitesse des particules de fluide comparable à la vitesse du son dans le fluide", il faut corriger l'énergie potentielle élastique du fluide.
Pour un gaz parfait, et en processus adiabatique, ce coeff est bien $ \gamma/(\gamma-1) $ devant la pression.

Ainsi, tu veux savoir si on l'applique ou pas, et tu proposais au départ un nombre de Mach de 1.2
Donc... oui, tu dois corriger l'énergie potentielle élastique du fluide.

Pour le coup, @Kieffer Jean, ce facteur-là n'est pas une correction empirique (même si toute l'ingénierie l'est, et j'assume m'être corrompu également :) )
Ca se démontre assez rapidement avec la conservation du débit et de l'énergie :
La conservation de l'énergie donne (en prenant les notations habituelles)
$ \frac{v_1^2}{2}+gh_1+u_1+\frac{p_1}{\rho} = $ pareil avec des 2,
et si $ \omega $ est l'enthalpie spécifique, pour un gaz parfait $ \gamma = \frac{\omega}{u} $, et par définition $ \omega = u+ \frac{p}{\rho} = \gamma/(\gamma-1) \frac{p}{\rho} $ , on arrive à ce facteur $ \gamma/(\gamma-1) $ devant le terme de pression.

Le semi empirique viendra le jour où on se posera la question de la pertinence de la combinaison des hypothèses "compressible, parfait, adiabatique" avec "supersonique". Mais jusqu'ici, "ça vole donc ça marche" :mrgreen:

Au passage, Saint-Venant, ça fait plutôt référence à autre chose pour pas mal de gens ici, je pense ; à savoir les modèles d'écoulements en eau profonde.
Je ne savais pas qu'il avait participé à ce genre d' "extensions", on va dire, de Bernoulli. (mais ça m'étonne un peu, il y a quand même un bon siècle d'écart, non ?)
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Re: Mécanique des fluides compressibles

Message par H2Fooko » 19 févr. 2022 10:28

Boujour TonyMDS,

Quelle est la longueur de tes tuyaux ?
Car j'ai pu vérifier l'importance de l'emplacement des capteurs de pression sur une installation avec des vérins hydrauliques (certes plus incompressible que l'air, mais avec une pression de 320 bars quand même). Des phénomènes de retard pur, voir d'interférences d'ondes de pression avec une onde réfléchie rendaient le contrôle en position / pression ardu 😕.
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Re: Mécanique des fluides compressibles

Message par Kieffer Jean » 20 févr. 2022 15:44

ce que tu as encadré en rouge n'est pas un terme correctif, il s'agit du traitement dans le cas d'un gaz parfait en évolution adiabatique réversible qui généraliserait Bernoulli.

en gros, la problématique est d'intégrer $ \frac{dp}{\rho} $ en intégrant Euler le long d'une ligne de courant.
Comme $ \rho $ varie, ça complique le calcul ...
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Re: Mécanique des fluides compressibles

Message par TonyMDS » 22 févr. 2022 14:42

Bonjour à tous,
Merci de vos réponses, mes idées sont plus claires.
@Hibiscus
Saint-Venant est utilisé dans des cours de 2011 que j'ai trouvés sur le web (DUT génie thermique/énergétique) :
Image

@Kieffer Jean
Effectivement ρ varie et notamment, proportionnellement avec la pression P, en considérant l’air comme un gaz parfait. Et pour peu que la température T reste constante et c’est bien le cas ici, la mesure étant effectuée à 20°C, on peut exprimer ρ en fonction de P. L’équation d’Euler s’intègre alors aisément en ln(P) : dP/ρ=RT/M∙dP/P

@H2Fooko
Je n’ai accès qu’à la mesure du débit volumique donné par un débitmètre (1809 cm3.min-1) et la pression finale qui correspond à celle de la salle blanche (atmosphère contrôlée 101360 Pa) + quelques dizaines de centimètres de tuyau (droit) dont les pertes de charges linéiques sont négligeables vs les pertes de charges singulières (2 divergents = 2 changements brusques de diamètre).
J’utilise le logiciel de calcul formel Maple pour vérifier la justesse de mes équations et effectuer mes applications numériques. En tenant compte du coefficient adiabatique « corrigeant Bernoulli », j’obtiens un débit de 1824 SI vs 1864 si correctif non appliqué, en un point « stratégique » de la ligne de courant.
La conservation du débit massique permet d’en déduire respectivement 100500 Pa vs 98370 Pa, de pression en ce point stratégique. Ce qui est sensé en terme d’ordre de grandeur. Et comme tu l’as suggéré, j’ai récemment eu la possibilité d’aller mesurer directement le delta de pression entre l’entrée (injection 2 bars) et le point stratégique. Verdict : 100370 Pa. Le fait de corriger l’énergie potentielle élastique est bien de mise (merci, Hibiscus pour ta confirmation).

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Re: Mécanique des fluides compressibles

Message par Kieffer Jean » 22 févr. 2022 19:36

là tu as écrit une évolution isotherme
je ne serais pas surpris qu'une hypothèse adiabatique soit plus adaptée
dans ce cas la loi de Laplace donnerait $$ p\rho^{-\gamma}=cste=p_0\rho_0^{-\gamma} $$
soit finalement $$ \rho=\rho_0(p_0/p)^{-1/\gamma} $$
tu as alors
$$
\frac{dp}{\rho}=\frac{dp}{\rho_0}\left(\frac{p}{p_0}\right)^{-1/\gamma}
$$
qui se primitive en
$$
\frac{1}{1-\frac{1}{\gamma}}\Delta\left((p/p_0)^{1-\frac{1}{\gamma}}\frac{p_0}{\rho_0}\right)=\frac{\gamma}{\gamma-1}\Delta\left((\frac{p}{\rho_0}\times\left(\frac{p}{p_0}\right)^{-1/\gamma}\right)=\frac{\gamma}{\gamma-1}\Delta\left(\frac{p}{\rho}\right)
$$
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