Exercice Centrale PSI 2015 Réduction

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Exercice Centrale PSI 2015 Réduction

Message par C.Lambert » 22 févr. 2022 23:02

Bonjour je n'arrive pas à résoudre cet exercice :

Soit n un entier naturel, A une matrice carré de taille n telle que [A](ij) = j si i différent de j et [A](ii) = 0

1) Montrer que "x" est valeur propre de A si et seulement si la somme pour k allant de 1 à n des (k/(x+k)) = 1

2) En déduire que A est diagonalisable

Merci de vos futures réponses

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Re: Exercice Centrale PSI 2015 Réduction

Message par GaBuZoMeu » 23 févr. 2022 14:04

Bonjour,

L'énoncé de la question 1) te souffle le polynôme caractéristique de la matrice $ A_n $ (j'ajoute l'indice $ n $ pour spécifier la taille). Tu peux démontrer, par exemple par récurrence sur $ n $, que le polynôme caractéristique de $ A_n $ est bien celui qui t'est soufflé.

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Re: Exercice Centrale PSI 2015 Réduction

Message par C.Lambert » 23 févr. 2022 18:20

Bonjour, ah oui d'accord, cela fonctionne.
Merci beaucoup.
C'est bon pour la question 2

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Re: Exercice Centrale PSI 2015 Réduction

Message par C.Lambert » 17 mai 2022 18:27

Bonjour, je reviens sur cette information. Ceci ne fonctionne pas du tout. Il faut calculer le produit AX = lbdX et trouver une condition sur lbd.
Pour la deuxième question il faut poser f(lbd) = la somme et appliquer le TVI pour montrer que la fonction vaut 1 en n valeurs distinctes donc que A est diagonalisable.

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