Exercice Centrale PSI 2015 Réduction
Exercice Centrale PSI 2015 Réduction
Bonjour je n'arrive pas à résoudre cet exercice :
Soit n un entier naturel, A une matrice carré de taille n telle que [A](ij) = j si i différent de j et [A](ii) = 0
1) Montrer que "x" est valeur propre de A si et seulement si la somme pour k allant de 1 à n des (k/(x+k)) = 1
2) En déduire que A est diagonalisable
Merci de vos futures réponses
Soit n un entier naturel, A une matrice carré de taille n telle que [A](ij) = j si i différent de j et [A](ii) = 0
1) Montrer que "x" est valeur propre de A si et seulement si la somme pour k allant de 1 à n des (k/(x+k)) = 1
2) En déduire que A est diagonalisable
Merci de vos futures réponses
Re: Exercice Centrale PSI 2015 Réduction
Bonjour,
L'énoncé de la question 1) te souffle le polynôme caractéristique de la matrice $ A_n $ (j'ajoute l'indice $ n $ pour spécifier la taille). Tu peux démontrer, par exemple par récurrence sur $ n $, que le polynôme caractéristique de $ A_n $ est bien celui qui t'est soufflé.
L'énoncé de la question 1) te souffle le polynôme caractéristique de la matrice $ A_n $ (j'ajoute l'indice $ n $ pour spécifier la taille). Tu peux démontrer, par exemple par récurrence sur $ n $, que le polynôme caractéristique de $ A_n $ est bien celui qui t'est soufflé.
Re: Exercice Centrale PSI 2015 Réduction
Bonjour, ah oui d'accord, cela fonctionne.
Merci beaucoup.
C'est bon pour la question 2
Merci beaucoup.
C'est bon pour la question 2
Re: Exercice Centrale PSI 2015 Réduction
Bonjour, je reviens sur cette information. Ceci ne fonctionne pas du tout. Il faut calculer le produit AX = lbdX et trouver une condition sur lbd.
Pour la deuxième question il faut poser f(lbd) = la somme et appliquer le TVI pour montrer que la fonction vaut 1 en n valeurs distinctes donc que A est diagonalisable.
Pour la deuxième question il faut poser f(lbd) = la somme et appliquer le TVI pour montrer que la fonction vaut 1 en n valeurs distinctes donc que A est diagonalisable.