Algèbre : endomorphismes et espaces vectoriels

[JB/L]

Bonjour, je me permets de poser quelques questions diverses sur ce sujet

- soit u un endomorphisme, pour que dim Im u = dim Im u^2, faut il forcément que Im u = Im u^2 ou c'est toujours vrai ?

- (question par rapport à un corrigé d'exercice), Il fallait donner un exemple d'esp vectoriel et d'endomorphisme tels que Ker u et Im u ne soient pas en somme directe, dans une bonne copie, un étudiant prend u =/= 0 et u^2 = 0 dans la base canonique de R^2 et dit on a u(b1) = 0
u(b2) = b1
-> ces résultats il les a choisi lui même pour mener à bien sa démonstration ou il est toujours vrai que u(1,0) = 0 et u(0,1) = (1,0) ???? je ne comprends vraiment pas

- (aussi par rapport à un exercice) : soit f un élément de L(E) ; e l'endomorphisme identité de E, e = p + q (2 éléments de L(E) et pour tout élément phi de L(E) on note phi^0 = e
f = ap + bq et f² = a²p + b²q (b,a) € R², a=/=b
Il fallait établir que (f-ae)°(f-be)=(f-be)°(f-ae)
°= rond, je ne sais pas comment l'écrire mieux
Dans sa copie, l'étudiant écrit que le premier membre de l'égalité = f(f(x) - be(x)) - a(f(x)-be(x)) = f²(x) -bf(x) - af(x) + abe(x)

Plusieurs questions : que représente finalement vraiment l'opération rond ? est-ce une multiplication entre deux 'applications' et donc on aurait directement pu développer la dernière égalité que j'ai écrite ?
Ou bien aurait-on pu 'remplacer les inconnus par (f-be) dans l'application (f-ae)' ? mais quelles inconnus ? : je dis ça en pensant à, pour une fonction f (f = 2x admettons) : f°f^-1(x) = f[f^-1(x)] = 2f^-1(x) .... sinon qu'est ce qui diffère entre le "rond des applications" et le "rond des fonctions" ?
Aussi, le prof a entouré les x sur la copie : donc aurait-il fallu écrire : f(f-be) - a(f-be) : précisément parce qu'il n'y a pas de x comme c'est une application linéaire ?
Egalement, pour passer de : (f-ae)°(f-be) à f(f(x) - be(x)) - a(f(x)-be(x)) : l'étudiant "fait disparaitre" le e : car c'est l'endomorphisme identité ? Donc aurait il été tout de même correct d'écrire en étape intermédiaire : f(f-be) - ae(f-be) ? Et pourquoi dans son cas il n'enlève pas les e de be : est-ce interdit d'écrire : f(f-b) - a(f-b) ?
Enfin, : f²(x) -bf(x) - af(x) + abe(x) les changements de place qu'il effectue : passer le b devant f(x) notamment, se justifient simplement par le fait que c'est une application linéaire et que donc f(ax) = af(x) ?

Merci beaucoup d'avance et désolée pour ces pavés peut-être peu clairs !

[Plop33]

Bonjour,

- Im u^2= u(Im u) est toujours inclus dans Im u donc dim(Im u^2) <= dim(Im u) avec égalité ssi Im u^2=Im u

- Ce n'est pas une règle, il suffit de prendre un contre-exemple pour t'en convaincre : l'application u de R2 dans R2 telle que u (x,y)= (y,y) vérifie u(1,0) = (0,0) et u(0,1)=(1,1).
Et si tu prends u de R2 dans R2 telle que : u(x,y) = (y,0). Tu as u(0,1) =(1,0) et u o u (0,1) = u(1,0)= u(0,0)

- rond correspond à la composition : (f o g) (x) = f(g(x)). Ce n'est pas une multiplication : en général, l'application f o g est différente de g o f i.e. non-commutatives. Ex : avec f(x,y)=(y,y) et g(x,y)=(x,0),
(f o g) (x,y)= f(x,0)=(0,0) et (g o f) (x,y)=g(y,y)=(y,0)

-Selon, comment tu le définis f(f-be) est une application ou une fonction tandis que f(f(x)-be(x)) est un vecteur ou un réel.

- La "disparition" du e correspond justement à une composition : f o e = f car c'est effectivement l'application identité.
En revanche, be est de nature différente par rapport à b : be est une application et b est un scalaire : écrire (be) (x) = b* x a un sens tandis que écrire b seul reviendrait à dire que c'est une application.

- En effet, si f est une application linéaire : f(b*x) = b* f(x)

Par ailleurs, tu gagnerais à poser directement ces questions à ton professeur ou à des camarades pour ne pas laisser le retard s'accumuler : c'est plus simple de comprendre petit à petit que tout en même temps.

[JB/L]

Bonjour,

Super un grand merci pour vos réponses et conseils ! )

Bonne journée