Exercice 35 du pdf de transition LLG

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Exercice 35 du pdf de transition LLG

Message par LouisX » 17 avr. 2022 06:07

Bonjour à tous,

Je bloque sur l'exercice 35 du pdf de transition de Louis le grand. Je mets l'énoncé en pièce jointe.

Pour la question 1: je trouve 4 pour tout x dans R.

Pour la question 2: je pense avoir saisi l'idée, c'est-à-dire qu'on peut utiliser la relation trouvée dans la question 1 pour tout x dans R et l'appliquer pour tout x dans Z et ainsi construire tous les entiers.
J'illustre. Si on prend x=1 on a 4^2 +1^2 - 2^2 - 3^2 ce qui fait bien évidemment 4 et correspond bien à la somme proposée par le b) .

Maintenant si on prend x=2 on a 5^2 +2^2 - 3^2 - 4^2, ce qui fait encore une fois 4 mais il nous manque +1^2 ou -1^2. Ainsi, on peut cette choisir de rajouter soit -1^2 soit +1^2 pour faire les entiers 3 et 5. Pour construire 2 par exemple on prend x=5 et on a 4 auquel on opère l'opération suivante avec les carrés restants: 4 - 4^2 + 3^2 + 2^2 +1^2 = 2. Le m correspondant est toujours x+3.

En revanche, je n'ai aucune idée pour comment formaliser cela, peut-être un raisonnement par l'absurde? Ça me semble plutôt compliqué comme démonstration, quelqu'un pourrait-il m'aider s'il-vous-plait?

Merci,

Louis

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Re: Exercice 35 du pdf de transition LLG

Message par LouisX » 17 avr. 2022 06:11

Je n'arrive pas à joindre le fichier désolé, je vous mets le lien du pdf ici https://www.cpge-paradise.com/pdf2/Poly ... el_New.PDF C'est l'exercice page 22

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Re: Exercice 35 du pdf de transition LLG

Message par kotu » 18 avr. 2022 22:02

En posant $$P(x)=(x+3)^2+x^2-(x+1)^2-(x+2)^2$$ on peut remarquer que pour tout $ k\in \mathbb{N}^* $, $$4k=\sum_{i=0}^{k-1}P(4i)=\sum_{i=1}^{4k-4}\varepsilon_i i^2$$ avec pour tout $ i\in [1,4k-4] $, $ \varepsilon_i \in \{-1,1\} $. On peut donc déjà avoir tous les multiples de 4 sous cette forme, il reste à voir comment faire les nombres dont le reste modulo 4 est 1, 2 ou 3. Pour cela, on remarque que $3=(0+3)^2-0^2-(0+1)^2-(0+2)^2$, donc pour tout nombre de la forme $x=4k+3$, on peut écrire $$x=\sum_{i=1}^{k}P(4i) + (0+3)^2-0^2-(0+1)^2-(0+2)^2=\sum_{i=1}^{4k}\varepsilon_i i^2$$ avec pour tout $i\in [1,4k+4]$, $\varepsilon_i \in \{-1,1\}$. De la même manière, tu peux bricoler pour avoir 2 et 1.
Pour 1: tout nombre de la forme $x=4k+1$ pour s'écrire sous la forme $$x=\sum_{i=0}^{k}P(4i+2) +1^2=\sum_{i=1}^{4k+1}\varepsilon_i i^2$$
Pour 2: tout nombre de la forme $x=4k+1$ pour s'écrire sous la forme $$x=\sum_{i=1}^{k}P(4i+1) + 4^2-3^2-2^2-1^2=\sum_{i=1}^{4k+1}\varepsilon_i i^2$$.
Dernière modification par kotu le 19 avr. 2022 06:12, modifié 1 fois.

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Re: Exercice 35 du pdf de transition LLG

Message par LouisX » 27 avr. 2022 11:14

Merci beaucoup pour ta réponse détaillée kotu! Désolé pour avoir mis du temps pour te répondre.

Je comprend comment il faut faire maintenant mais du coup je pense que les bornes sur les sommes ne sont pas bonnes.

En effet, pour $ 4k $, on a:
$$ 4k = \displaystyle\sum_{i=0}^{k-1} P(4i) = \displaystyle\sum_{i=0}^{k-1} [(4i+3)^2+(4i)^2-(4i+1)^2-(4i+2)^2] = \displaystyle\sum_{i=1}^{4k-1} \varepsilon_i i^2 $$ car $ 4(k-1) + 3 = 4k-1 $

Pour les nombres de la forme $ 4k+3 $, on a $ 3=2^2-1^2 $, d'où:

$ 4k+3 = 2^2-1^2 + \displaystyle\sum_{i=0}^{k-1} P(4i+3) = 2^2-1^2 + \displaystyle\sum_{i=0}^{k-1} [(4i+6)^2+(4i+3)^2-(4i+4)^2-(4i+5)^2] = 2^2-1^2+\displaystyle\sum_{i=3}^{4k+2} \varepsilon_i i^2 $ car $ 4(k-1) + 6 = 4k+2 $ et $ 4*0+3 = 3 $
Donc, $ 4k+3 = \displaystyle\sum_{i=1}^{4k+2} \varepsilon_i i^2 $

Après pour $ 4k+2 $, on a bien $ 2=4^2-3^2-2^2-1^2 $, d'où:

$ 4k+2= 4^2-3^2-2^2-1^2 + \displaystyle\sum_{i=0}^{k-1} P(4i+5) = 4^2-3^2-2^2-1^2 + \displaystyle\sum_{i=0}^{k-1} [(4i+8)^2+(4i+5)^2-(4i+6)^2-(4i+7)^2] = 4^2-3^2-2^2-1^2+\displaystyle\sum_{i=5}^{4k+4} \varepsilon_i i^2 $ car $ 4(k-1) + 8 = 4k+4 $

Ainsi $ 4k+2=\displaystyle\sum_{i=1}^{4k+4} \varepsilon_i i^2 $

Pour $ 4k+1 $ je suis d'accord

C'est juste? Merci encore pour ton aide.

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Re: Exercice 35 du pdf de transition LLG

Message par kotu » 28 avr. 2022 22:23

Oui tu as raison pour les indices. Je pense que tu as compris l'idée générale tu peux conclure par toi même!

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