Entre inf et sup...

[Jeandxb]

Bonjour tout le monde,

Je considère $ u $ une application linéaire de $ (E,||.||) $ dans $ (F,N) $, deux espaces vectoriels normés sur un corps $ \mathbb{K} $.
On suppose de plus que u est continue.

On définit $ N_3:=\sup_{x\in B} (||u(x)||) $ et $ N_4:=\inf (k\in\mathbb{R^+_{*}}, \forall x\in E, ||u(x)||\le k N(x)) $, avec $ B $ la boule unité fermée de $ E $.
Je noterai $ G=\inf (k\in\mathbb{R^+_{*}}, \forall x\in E, ||u(x)||\le k N(x))
$
J'essaye de montrer que $ N_3=N_4 $.
Pour cela, je procède par double inégalité.
Tout d'abord, $ N_3\le N_4 $.

Si $ x\in B $, alors $ N(x)\le 1 $ et donc pour tout $ x\in E, ||u(x)||\le kN(x)\le k. $
Alors, pour en déduire que $ N_3\le N_4 $, il me suffira de passer au sup, car l'inégalité est vraie pour tout $ x\in E $.
Mais ma question est : pourquoi est-ce que $ ||u(x)||\le k $ implique que $ ||u(x)||\le N_4 $ ?

Pour cela, il faudrait que je montre que $ k $ est un minorant de $ G $, et donc on aurait que $ k\le N_4 $, car $ N_4 $ est le plus grand des minorants de $ G $.

C'est sur ce dernier point que je tourne en rond.

Ou alors faut-il essayer de chercher une inclusion entre les ensembles $ (||u(x)||,x\in B) $ et $ G $ ?
Auriez-vous une idée ?

Merci !

[Jeandxb]

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