Bonjour ,
$ $Soit $\ n $ un entier strictement positif et$ a_1, a_2, \ldots, a_k ($avec$ k \geq 2) $des nombres distincts de l'ensemble {$1,2,…,n$} tels que $ \ n\mid a_i(a_{i+1}-1) $pour tout $i=1,2,…,k−1 $Prouver que$ \ n \nmid a_k(a_1-1)$ $
Exercice d'arithmétique :
Re: Exercice d'arithmétique :
Des indices pour avancer dans cet exercice??
Re: Exercice d'arithmétique :
J'ai une solution, mais trouvée un peu par tâtonnement, c'est quelque peu laborieux mais je te propose de suivre ces étapes.
Indication 1: Regarde le cas k=2
Indication 2: Déduis en une hypothèse de récurrence qui te permettrait de reproduire ce cas (du style n|... où ... est une certaine quantité qui dépend de k, et je dis bien | et non pas ne divise pas, car ça ne passe pas aux sommes/produits sinon) et fais une récurrence avec cette hypothèse pour conclure. (Le cas k=3 aide à voir ce que tu dois faire, c'est comme ça que j'ai trouvé en tout cas).
Après il y a probablement plus élégant mais c'est ce que j'ai à te proposer.
Indication 1: Regarde le cas k=2
Indication 2: Déduis en une hypothèse de récurrence qui te permettrait de reproduire ce cas (du style n|... où ... est une certaine quantité qui dépend de k, et je dis bien | et non pas ne divise pas, car ça ne passe pas aux sommes/produits sinon) et fais une récurrence avec cette hypothèse pour conclure. (Le cas k=3 aide à voir ce que tu dois faire, c'est comme ça que j'ai trouvé en tout cas).
Après il y a probablement plus élégant mais c'est ce que j'ai à te proposer.
Re: Exercice d'arithmétique :
Bonjour!
J'ai essayé de supposer que $n \mid a_k(a_1-1)$ et d'aboutir a une contradiction , mais je ne vois pas encore une piste claire, J'ai regardé le cas de $k=2$ , Et quoi faire par la suite ? (J'ai essayé aussi de la montrer par récurrence
J'ai essayé de supposer que $n \mid a_k(a_1-1)$ et d'aboutir a une contradiction , mais je ne vois pas encore une piste claire, J'ai regardé le cas de $k=2$ , Et quoi faire par la suite ? (J'ai essayé aussi de la montrer par récurrence
Re: Exercice d'arithmétique :
En fait il faut plutôt prendre comme hypothèse de récurrence n|a1(ak-1). Tu vois que ça implique n ne divise pas ak(a1-1) en faisant comme pour k=2, et c'est vrai.
Je te laisse chercher le cas k=3 avec ça, la récurrence se fait de la même manière.
Je te laisse chercher le cas k=3 avec ça, la récurrence se fait de la même manière.
Re: Exercice d'arithmétique :
On peut montrer un résultat plus fort : si $ n|a_i(a_{i+1}-1) $ pour $ 1\leq i\leq k $, les indices étant pris modulo $ k $, alors tous les $ a_i $ sont égaux.
Pour le démontrer on peut factoriser $ n $ comme produit de $ p^{\alpha} $ et montrer en partant de $ p^{\alpha}|a_1(a_2-1) $ :
soit $ p|a_2-1 $ donc $ p\nmid a_2 $ et alors $ p^{\alpha}|a_i-1 $ pour tout $ i $ (par récurrence)
soit $ p|a_1 $ donc $ p\nmid a_1-1 $ et alors $ p^{\alpha}|a_i $ pour tout $ i $ (par récurrence)
On en déduit que $ p^{\alpha}|a_i-a_j $ pour tous les couples $ (i,j) $ donc $ n|a_i-a_j $ pour tous les couples $ (i,j) $
Pour le démontrer on peut factoriser $ n $ comme produit de $ p^{\alpha} $ et montrer en partant de $ p^{\alpha}|a_1(a_2-1) $ :
soit $ p|a_2-1 $ donc $ p\nmid a_2 $ et alors $ p^{\alpha}|a_i-1 $ pour tout $ i $ (par récurrence)
soit $ p|a_1 $ donc $ p\nmid a_1-1 $ et alors $ p^{\alpha}|a_i $ pour tout $ i $ (par récurrence)
On en déduit que $ p^{\alpha}|a_i-a_j $ pour tous les couples $ (i,j) $ donc $ n|a_i-a_j $ pour tous les couples $ (i,j) $