Exercice sur l'uniforme continuité

[Aymen_mrt]

Bonjour,

Cela fait deux jours que je planche sur un exercice mettant en jeu le concept de l'uniforme continuité sans grand succès.

L'énoncé est le suivant :

Soit $ f $ une fonction uniformément continue. On suppose que pour tout t > 0 $ f(nt) ->0 $ lorsque $ n -> + \infty $ Montrer que $ f(x) -> 0 $ lorsque $ x -> \infty $

Graphiquement je vois bien que l'énoncé est vrai , mais maintenant pour poser ça proprement et le résoudre je n'ai vraiment pas de piste.

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

[Contrexemple]

Bonjour,

Il te faut jongler avec les epsilons.

SPOILER:

$ $Montrons que $\forall e>0,\exists A>0,\forall x>A, |f(x)|<e$.

Soit $e>0$

Comme $f$ uniformément continue, donc il existe $d>0,\forall (x,y) \in \mathbb R^2 \text{ tq } |x-y|\leq d, |f(x)-f(y)|\leq e/3$ (1)

On prend $t=d$ alors $ \exists n_0\in \mathbb N, \forall n\in \mathbb N,\text{ tq } n\geq n_0, |f(tn)|\leq e/3 $ (2)

Posons $A=tn_0$.

Soit $x>A$ on a $\exists n\in\mathbb N,(n+1)t \geq x \geq nt\geq n_0t$ alors $n\geq n_0$ et $|x-nt|\leq t=d$.

Donc par (1) $|f(x)-f(nt)|\leq e/3$ et par (2) $|f(nt)|\leq e/3$

Alors $|f(x)|\leq |f(x)-f(nt)|+|f(nt)|\leq 2e/3< e$

[Aymen_mrt]

Merci beaucoup, c'est beaucoup plus clair !