Exo d'analyse Help

[AirFrance]

Bonsoir, je bloque sur cet exercice d'analyse :
Soit f une fonction dérivable de R+ dans K
a) On suppose que f' tend vers l qui appartient à K en + l'infini. Montrer que f(t)/t tend aussi vers l quand t tend vers + infini

Une indication ?

Pour cet exo, on peut revenir à la définition de la limite et utiliser le théorème des accroissements finis, c’est il me semble la méthode classique

Bonsoir, merci pour cette indication, mais je ne vois pas sur quel intervalle utiliser le TAF

[Tamador195]

Soit e>0

par hypothèse il existe A1 appartenant à R+ tel que pr tout x supérieur ou égal à A1|f’(x)-l|=< e

soit x > A1

on applique le Taf sur [A1,x] : il existe Cx dans [A1,x] tel que f’(Cx)= f(x)-f(A1)/x-A1

à partir de là, essaie d’arriver à une expression du type :

f(x)/x =< (x-A1/x)*f’(Cx) + f(A1)/x

puis retranche l des deux côtés et passe à la valeur absolue et en bossant un peu tu pourras conclure

[zygomatique]

salut

qui est K ?

vu la police je prends k à la place de l que je trouve plus lisible ...

lim f'(t) = k donc par définition pour tout e > 0 il existe a > 0 tel que : t > a => k - e < f'(t) < k + e

et alors toujours pour t > a : (t - a)(k - e) < f(t) - f(a) < (t - a)(k + e)

il suffit alors de diviser par t et faire tendre t vers +oo

ce me semble-t-il ...

PS : bien sûr utiliser des inégalités larges ...

[Contrexemple]

Salut,

Bien vu.

[H2Fooko]

Même le vieil ingé a compris cette dernière démo

[Contrexemple]

@Zygomatique : je viens de me rendre compte d'un problème dans ta démo :

Tu fais comme si tu savais que f(t)/t avait une limite en +oo, pourquoi donc ?

[H2Fooko]

Oui je pense aussi qu'il y a un hic : Zygomatique passe de l'encadrement de la limite du taux d'accroissement lorsque t tend vers a par valeur supérieure à l'encadrement du taux d'accroissement de f en a (ce qui est moins exigeant)

PS je pensais avoir compris

[Contrexemple]

Non, selon moi ce passage ne pose pas problème.

PS : il applique sans le dire le TAF sur [a,t] ainsi f(t)-f(a)=(t-a)*f'(c) avec un c dans ]a,t[.

Il y a un problème avec le choix des noms de ces variables, le premier t n'est pas le second t.

Perso cela ne me pose pas de problème, mais c'est contre le principe logique d'identité ou d'inderdit des homonymes : deux symbôles identiques représentent une même chose*.

* : principe qu'il vaut mieux respecter au début de son apprentissage.

[Contrexemple]

$ $Cela jette le doute sur ma proposition, que je remets ici :

1) Comme $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} f'(t)=l \in \mathbb R$
il existe $A>0,M>0$ tel que $\forall x>A, |f'(x)|\leq M$.
Donc par l'inégalité des accroissements fini $\forall (x,y)\in ] A,+\infty[^2, |f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$ (1)



2) Soit $t>1$, appliquons le TAF sur $[\sqrt t, t]$ alors il existe $c_t \in ]\sqrt t, t[$ tel que $\dfrac{f(t)-f(\sqrt t)}{t-\sqrt t}=f'(c_t)$ (2)

On a $\forall x>0, c_x\geq \sqrt x$ donc $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} c_t=+\infty$ donc $\lim f'(c_t)=l$ (3)

d'aprés (1) $\forall x>A, |f(x)-f(A+1)|\leq M|x-A-1|$ donc $\forall x>A, |f(x)|\leq M|x|+M|A+1|+|f(A+1)| $

Donc $\exists B>0, \forall x>A^2, |f(\sqrt x)|\leq M|\sqrt x|+B$ donc $\lim \dfrac{f(\sqrt t)}{t-\sqrt t}=0$ (4)

Ainsi $l=l+0=_{(3),(4)}\lim f'(c_t)+\dfrac{f(\sqrt t)}{t-\sqrt t}=_{(2)}\lim \dfrac{f(t)}{t-\sqrt t}=\lim \dfrac{t-\sqrt t}{t}\times \dfrac{f(t)}{t-\sqrt t} = \lim \dfrac{f(t)}{t}$


ce me semble-t-il...

[zygomatique]

je ne comprends pas vos questionnements ...

la seule objection à soulever est un pb de signe que je vais balayer immédiatement : quitte à changer f en -f on peut supposer k positif ! (*)

je ne fais pas comme si ... j'ai un encadrement que je passe à la limite pour aboutir à k - e < f(t)/t < k + e ... valable pour tout e > 0

qu'est-ce que cette histoire de double variable : t ne tend as vers a qui est fixé mais vers +oo

quant à mon inégalité c'est le TAF :

avec (*) pour me débarrasser des barres de valeurs absolues si pour t > a il existe u € [a, t] tel que f(t) - f(a) = f'(u) (t - a) et si k - e < f'(u) < k + e pour tout u > a alors

(t - a)(k - e) < f(t) - f(a) < (t - a)(k + e)

qui se déduit par simple opération sur les inégalités