Bonsoir, merci pour cette indication, mais je ne vois pas sur quel intervalle utiliser le TAFTamador195 a écrit : ↑07 sept. 2022 10:38
Pour cet exo, on peut revenir à la définition de la limite et utiliser le théorème des accroissements finis, c’est il me semble la méthode classique
Exo d'analyse Help
Re: Exo d'analyse Help
MP
Re: Exo d'analyse Help
Soit e>0
par hypothèse il existe A1 appartenant à R+ tel que pr tout x supérieur ou égal à A1|f’(x)-l|=< e
soit x > A1
on applique le Taf sur [A1,x] : il existe Cx dans [A1,x] tel que f’(Cx)= f(x)-f(A1)/x-A1
à partir de là, essaie d’arriver à une expression du type :
f(x)/x =< (x-A1/x)*f’(Cx) + f(A1)/x
puis retranche l des deux côtés et passe à la valeur absolue et en bossant un peu tu pourras conclure
par hypothèse il existe A1 appartenant à R+ tel que pr tout x supérieur ou égal à A1|f’(x)-l|=< e
soit x > A1
on applique le Taf sur [A1,x] : il existe Cx dans [A1,x] tel que f’(Cx)= f(x)-f(A1)/x-A1
à partir de là, essaie d’arriver à une expression du type :
f(x)/x =< (x-A1/x)*f’(Cx) + f(A1)/x
puis retranche l des deux côtés et passe à la valeur absolue et en bossant un peu tu pourras conclure
2019/2021: MPSI/MP*
2021-... : CentraleSupélec
2021-... : CentraleSupélec
Re: Exo d'analyse Help
salut
qui est K ?
vu la police je prends k à la place de l que je trouve plus lisible ...
lim f'(t) = k donc par définition pour tout e > 0 il existe a > 0 tel que : t > a => k - e < f'(t) < k + e
et alors toujours pour t > a : (t - a)(k - e) < f(t) - f(a) < (t - a)(k + e)
il suffit alors de diviser par t et faire tendre t vers +oo
ce me semble-t-il ...
PS : bien sûr utiliser des inégalités larges ...
qui est K ?
vu la police je prends k à la place de l que je trouve plus lisible ...
lim f'(t) = k donc par définition pour tout e > 0 il existe a > 0 tel que : t > a => k - e < f'(t) < k + e
et alors toujours pour t > a : (t - a)(k - e) < f(t) - f(a) < (t - a)(k + e)
il suffit alors de diviser par t et faire tendre t vers +oo
ce me semble-t-il ...
PS : bien sûr utiliser des inégalités larges ...
Savoir, c'est connaître par le moyen de la démonstration. ARISTOTE
Re: Exo d'analyse Help
Même le vieil ingé a compris cette dernière démo
отец (un autre père ENSICAENnais) сынок (& fils PCSI▸PC▸PC* 2020-23 à B.Pascal (63) ➠ EC Lille) и Дух мира (& esprit de 🕊)
Re: Exo d'analyse Help
@Zygomatique : je viens de me rendre compte d'un problème dans ta démo :
Tu fais comme si tu savais que f(t)/t avait une limite en +oo, pourquoi donc ?
Tu fais comme si tu savais que f(t)/t avait une limite en +oo, pourquoi donc ?
Re: Exo d'analyse Help
Oui je pense aussi qu'il y a un hic : Zygomatique passe de l'encadrement de la limite du taux d'accroissement lorsque t tend vers a par valeur supérieure à l'encadrement du taux d'accroissement de f en a (ce qui est moins exigeant)
PS je pensais avoir compris
PS je pensais avoir compris
отец (un autre père ENSICAENnais) сынок (& fils PCSI▸PC▸PC* 2020-23 à B.Pascal (63) ➠ EC Lille) и Дух мира (& esprit de 🕊)
Re: Exo d'analyse Help
Non, selon moi ce passage ne pose pas problème.
PS : il applique sans le dire le TAF sur [a,t] ainsi f(t)-f(a)=(t-a)*f'(c) avec un c dans ]a,t[.
Il y a un problème avec le choix des noms de ces variables, le premier t n'est pas le second t.
Perso cela ne me pose pas de problème, mais c'est contre le principe logique d'identité ou d'inderdit des homonymes : deux symbôles identiques représentent une même chose*.
* : principe qu'il vaut mieux respecter au début de son apprentissage.
PS : il applique sans le dire le TAF sur [a,t] ainsi f(t)-f(a)=(t-a)*f'(c) avec un c dans ]a,t[.
Il y a un problème avec le choix des noms de ces variables, le premier t n'est pas le second t.
Perso cela ne me pose pas de problème, mais c'est contre le principe logique d'identité ou d'inderdit des homonymes : deux symbôles identiques représentent une même chose*.
* : principe qu'il vaut mieux respecter au début de son apprentissage.
Re: Exo d'analyse Help
$ $Cela jette le doute sur ma proposition, que je remets ici :
1) Comme $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} f'(t)=l \in \mathbb R$
il existe $A>0,M>0$ tel que $\forall x>A, |f'(x)|\leq M$.
Donc par l'inégalité des accroissements fini $\forall (x,y)\in ] A,+\infty[^2, |f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$ (1)
2) Soit $t>1$, appliquons le TAF sur $[\sqrt t, t]$ alors il existe $c_t \in ]\sqrt t, t[$ tel que $\dfrac{f(t)-f(\sqrt t)}{t-\sqrt t}=f'(c_t)$ (2)
On a $\forall x>0, c_x\geq \sqrt x$ donc $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} c_t=+\infty$ donc $\lim f'(c_t)=l$ (3)
d'aprés (1) $\forall x>A, |f(x)-f(A+1)|\leq M|x-A-1|$ donc $\forall x>A, |f(x)|\leq M|x|+M|A+1|+|f(A+1)| $
Donc $\exists B>0, \forall x>A^2, |f(\sqrt x)|\leq M|\sqrt x|+B$ donc $\lim \dfrac{f(\sqrt t)}{t-\sqrt t}=0$ (4)
Ainsi $l=l+0=_{(3),(4)}\lim f'(c_t)+\dfrac{f(\sqrt t)}{t-\sqrt t}=_{(2)}\lim \dfrac{f(t)}{t-\sqrt t}=\lim \dfrac{t-\sqrt t}{t}\times \dfrac{f(t)}{t-\sqrt t} = \lim \dfrac{f(t)}{t}$
ce me semble-t-il...
1) Comme $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} f'(t)=l \in \mathbb R$
il existe $A>0,M>0$ tel que $\forall x>A, |f'(x)|\leq M$.
Donc par l'inégalité des accroissements fini $\forall (x,y)\in ] A,+\infty[^2, |f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$ (1)
2) Soit $t>1$, appliquons le TAF sur $[\sqrt t, t]$ alors il existe $c_t \in ]\sqrt t, t[$ tel que $\dfrac{f(t)-f(\sqrt t)}{t-\sqrt t}=f'(c_t)$ (2)
On a $\forall x>0, c_x\geq \sqrt x$ donc $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} c_t=+\infty$ donc $\lim f'(c_t)=l$ (3)
d'aprés (1) $\forall x>A, |f(x)-f(A+1)|\leq M|x-A-1|$ donc $\forall x>A, |f(x)|\leq M|x|+M|A+1|+|f(A+1)| $
Donc $\exists B>0, \forall x>A^2, |f(\sqrt x)|\leq M|\sqrt x|+B$ donc $\lim \dfrac{f(\sqrt t)}{t-\sqrt t}=0$ (4)
Ainsi $l=l+0=_{(3),(4)}\lim f'(c_t)+\dfrac{f(\sqrt t)}{t-\sqrt t}=_{(2)}\lim \dfrac{f(t)}{t-\sqrt t}=\lim \dfrac{t-\sqrt t}{t}\times \dfrac{f(t)}{t-\sqrt t} = \lim \dfrac{f(t)}{t}$
ce me semble-t-il...
Re: Exo d'analyse Help
je ne comprends pas vos questionnements ...
la seule objection à soulever est un pb de signe que je vais balayer immédiatement : quitte à changer f en -f on peut supposer k positif ! (*)
je ne fais pas comme si ... j'ai un encadrement que je passe à la limite pour aboutir à k - e < f(t)/t < k + e ... valable pour tout e > 0
qu'est-ce que cette histoire de double variable : t ne tend as vers a qui est fixé mais vers +oo
quant à mon inégalité c'est le TAF :
avec (*) pour me débarrasser des barres de valeurs absolues si pour t > a il existe u € [a, t] tel que f(t) - f(a) = f'(u) (t - a) et si k - e < f'(u) < k + e pour tout u > a alors
(t - a)(k - e) < f(t) - f(a) < (t - a)(k + e)
qui se déduit par simple opération sur les inégalités
la seule objection à soulever est un pb de signe que je vais balayer immédiatement : quitte à changer f en -f on peut supposer k positif ! (*)
je ne fais pas comme si ... j'ai un encadrement que je passe à la limite pour aboutir à k - e < f(t)/t < k + e ... valable pour tout e > 0
qu'est-ce que cette histoire de double variable : t ne tend as vers a qui est fixé mais vers +oo
quant à mon inégalité c'est le TAF :
avec (*) pour me débarrasser des barres de valeurs absolues si pour t > a il existe u € [a, t] tel que f(t) - f(a) = f'(u) (t - a) et si k - e < f'(u) < k + e pour tout u > a alors
(t - a)(k - e) < f(t) - f(a) < (t - a)(k + e)
qui se déduit par simple opération sur les inégalités
Savoir, c'est connaître par le moyen de la démonstration. ARISTOTE