Exo d'analyse Help

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Exo d'analyse Help

Message par AirFrance » 04 sept. 2022 20:44

Bonsoir, je bloque sur cet exercice d'analyse :
Soit f une fonction dérivable de R+ dans K
a) On suppose que f' tend vers l qui appartient à K en + l'infini. Montrer que f(t)/t tend aussi vers l quand t tend vers + infini

Une indication ?
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Re: Exo d'analyse Help

Message par Contrexemple » 06 sept. 2022 12:28

Bonjour,

$ $1) Montre que $f$ est lipschitzienne, sur un voisinage de $+\infty$.

2) En utilisant Taylor-Lagrange sur $[\sqrt t,\sqrt t+t]$ et en utilisant 1) : montre que $\lim\limits_{t\rightarrow + \infty }\dfrac{f(t+\sqrt t)}{t}=l$

3) Conclut.

Bonne journée.

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Re: Exo d'analyse Help

Message par H2Fooko » 07 sept. 2022 08:50

Juste quelques élucubrations d'un vieil ingé proche de la retraite 😋 :

Si $ \lim\limits_{t\rightarrow + \infty }f'(t)=l $ on devrait pouvoir écrire $ f $ sous la forme :
$$ \left\{ \begin{array}{ll}
f(t)=g(t)+l.t+k_{0} & \text{avec} \\
\lim\limits_{t\rightarrow + \infty } g'(t)=0 & \text{et}\\
k_{0} \ \text{constante}
\end{array} \right. $$
$ g $ ayant les même propriétés de $ f $ (continuité, dérivabilité etc ...)
$$ \left\{ \begin{array}{ll}
f(t)=g(t)+l.t+k_{0} & \text{avec} \\
\lim\limits_{t\rightarrow + \infty } g(t)=k_{1} & \text{et}\\
k_{0} \text{ et }k_{1}\ \text{constantes}
\end{array} \right. $$

Alors la limite de : $ \large \frac{f(t)}{t}=\frac{g(t)+l.t+k}{t}=\frac{g(t)}{t}+l+\frac{k}{t} $ donnerait :

$ \lim\limits_{t\rightarrow + \infty } \frac{f(t)}{t}=\lim\limits_{t\rightarrow + \infty }(\frac{g(t)}{t}+l+\frac{k_{0}}{t})=l $
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Re: Exo d'analyse Help

Message par Contrexemple » 07 sept. 2022 09:04

Si $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} g'(t)=0$ alors on n'a pas forcément $\lim g(t)=cste$.

Pour le voir prendre $g(x)=\ln(x+1)$.

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Re: Exo d'analyse Help

Message par Tamador195 » 07 sept. 2022 10:36

Contrexemple a écrit :
06 sept. 2022 12:28
Bonjour,

$ $1) Montre que $f$ est lipschitzienne, sur un voisinage de $+\infty$.

2) En utilisant Taylor-Lagrange sur $[\sqrt t,\sqrt t+t]$ et en utilisant 1) : montre que $\lim\limits_{t\rightarrow + \infty }\dfrac{f(t+\sqrt t)}{t}=l$

3) Conclut.

Bonne journée.

C’est vraiment une méthode très compliquée … quand un jeune sup (ou spé) demande une aide il faudrait essayer d’être un peu plus « classique » dans vos conseils il me semble … (je sais qu’à sa place j’aurais paniqué)
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Re: Exo d'analyse Help

Message par Tamador195 » 07 sept. 2022 10:38

AirFrance a écrit :
04 sept. 2022 20:44
Bonsoir, je bloque sur cet exercice d'analyse :
Soit f une fonction dérivable de R+ dans K
a) On suppose que f' tend vers l qui appartient à K en + l'infini. Montrer que f(t)/t tend aussi vers l quand t tend vers + infini

Une indication ?

Pour cet exo, on peut revenir à la définition de la limite et utiliser le théorème des accroissements finis, c’est il me semble la méthode classique
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Re: Exo d'analyse Help

Message par Contrexemple » 07 sept. 2022 10:53

Juste une remarque : Taylor-Lagrange à l'ordre 1 c'est exactement le TAF.

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Re: Exo d'analyse Help

Message par H2Fooko » 07 sept. 2022 12:38

Contrexemple a écrit :
07 sept. 2022 09:04
Si $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} g'(t)=0$ alors on n'a pas forcément $\lim g(t)=cste$.

Pour le voir prendre $g(x)=\ln(x+1)$.
Merci contrexemple du contre exemple, le débat est lancé en tout cas !

PS: je suis d'accord avec Tamador, quand j'ai vu ta solution je me suis dit p*n y a pas plus simple ?
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Re: Exo d'analyse Help

Message par Contrexemple » 07 sept. 2022 15:01

Voilà la réponse que j'avais en tête :
SPOILER:
1) Comme $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} f'(t)=l \in \mathbb R$
il existe $A>0,M>0$ tel que $\forall x>A, |f'(x)|\leq M$.
Donc par l'inégalité des accroissements fini $\forall (x,y)\in ] A,+\infty[^2, |f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$ (1)



2) Soit $t>0$, appliquons le TAF sur $[\sqrt t, \sqrt t +t]$ alors il existe $c_t \in [\sqrt t, \sqrt t+t]$ tel que $\dfrac{f(\sqrt t+t)-f(\sqrt t)}{t}=f'(c_t)$

On a $\forall x>0, c_x\geq \sqrt x$ donc $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} c_t=+\infty$ donc $\lim f'(c_t)=l$

d'aprés (1) $\forall x>A, |f(x)-f(A+1)|\leq M|x-A-1|$ donc $\forall x>A, |f(x)|\leq M|x|+M|A+1|+|f(A+1)| $

Donc $\exists B>0, \forall x>A^2, |f(\sqrt x)|\leq M|\sqrt x|+B$ donc $\lim \dfrac{f(\sqrt t)}{t}=0$

Ainsi $l=l+0=\lim f'(c_t)+\dfrac{f(\sqrt t)}{t}=\lim \dfrac{f(\sqrt t+t)}{t}=\lim \dfrac{t}{t+\sqrt t}\times \dfrac{f(\sqrt t+t)}{t} = \lim \dfrac{f(\sqrt t+t)}{\sqrt t+t}$

3) ...

Edit : il y a plus direct en appliquant le TAF sur $[\sqrt t, t]$ alors on conclut directement ce qu'il faut.

PS : si vous avez une réponse plus simple, j'aimerais bien la connaître

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Re: Exo d'analyse Help

Message par Tamador195 » 07 sept. 2022 22:58

Contrexemple a écrit :
07 sept. 2022 15:01
Voilà la réponse que j'avais en tête :
SPOILER:
1) Comme $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} f'(t)=l \in \mathbb R$
il existe $A>0,M>0$ tel que $\forall x>A, |f'(x)|\leq M$.
Donc par l'inégalité des accroissements fini $\forall (x,y)\in ] A,+\infty[^2, |f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$ (1)



2) Soit $t>0$, appliquons le TAF sur $[\sqrt t, \sqrt t +t]$ alors il existe $c_t \in [\sqrt t, \sqrt t+t]$ tel que $\dfrac{f(\sqrt t+t)-f(\sqrt t)}{t}=f'(c_t)$

On a $\forall x>0, c_x\geq \sqrt x$ donc $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} c_t=+\infty$ donc $\lim f'(c_t)=l$

d'aprés (1) $\forall x>A, |f(x)-f(A+1)|\leq M|x-A-1|$ donc $\forall x>A, |f(x)|\leq M|x|+M|A+1|+|f(A+1)| $

Donc $\exists B>0, \forall x>A^2, |f(\sqrt x)|\leq M|\sqrt x|+B$ donc $\lim \dfrac{f(\sqrt t)}{t}=0$

Ainsi $l=l+0=\lim f'(c_t)+\dfrac{f(\sqrt t)}{t}=\lim \dfrac{f(\sqrt t+t)}{t}=\lim \dfrac{t}{t+\sqrt t}\times \dfrac{f(\sqrt t+t)}{t} = \lim \dfrac{f(\sqrt t+t)}{\sqrt t+t}$

3) ...

Edit : il y a plus direct en appliquant le TAF sur $[\sqrt t, t]$ alors on conclut directement ce qu'il faut.

PS : si vous avez une réponse plus simple, j'aimerais bien la connaître

C’est exactement la même idée en vérité … mais je trouve certaines étapes de votre démo peu naturelles pour un élève de sup.

Je manque probablement d’expérience mais je suis persuadé que 80% de mes camarades de sup auraient été décontenancé par votre formulation, même si elle est parfaitement valable.
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