Exo d'analyse Help
Exo d'analyse Help
Bonsoir, je bloque sur cet exercice d'analyse :
Soit f une fonction dérivable de R+ dans K
a) On suppose que f' tend vers l qui appartient à K en + l'infini. Montrer que f(t)/t tend aussi vers l quand t tend vers + infini
Une indication ?
Soit f une fonction dérivable de R+ dans K
a) On suppose que f' tend vers l qui appartient à K en + l'infini. Montrer que f(t)/t tend aussi vers l quand t tend vers + infini
Une indication ?
MP
Re: Exo d'analyse Help
Bonjour,
$ $1) Montre que $f$ est lipschitzienne, sur un voisinage de $+\infty$.
2) En utilisant Taylor-Lagrange sur $[\sqrt t,\sqrt t+t]$ et en utilisant 1) : montre que $\lim\limits_{t\rightarrow + \infty }\dfrac{f(t+\sqrt t)}{t}=l$
3) Conclut.
Bonne journée.
$ $1) Montre que $f$ est lipschitzienne, sur un voisinage de $+\infty$.
2) En utilisant Taylor-Lagrange sur $[\sqrt t,\sqrt t+t]$ et en utilisant 1) : montre que $\lim\limits_{t\rightarrow + \infty }\dfrac{f(t+\sqrt t)}{t}=l$
3) Conclut.
Bonne journée.
Re: Exo d'analyse Help
Juste quelques élucubrations d'un vieil ingé proche de la retraite :
Si $ \lim\limits_{t\rightarrow + \infty }f'(t)=l $ on devrait pouvoir écrire $ f $ sous la forme :
$$ \left\{ \begin{array}{ll}
f(t)=g(t)+l.t+k_{0} & \text{avec} \\
\lim\limits_{t\rightarrow + \infty } g'(t)=0 & \text{et}\\
k_{0} \ \text{constante}
\end{array} \right. $$
$ g $ ayant les même propriétés de $ f $ (continuité, dérivabilité etc ...)
$$ \left\{ \begin{array}{ll}
f(t)=g(t)+l.t+k_{0} & \text{avec} \\
\lim\limits_{t\rightarrow + \infty } g(t)=k_{1} & \text{et}\\
k_{0} \text{ et }k_{1}\ \text{constantes}
\end{array} \right. $$
Alors la limite de : $ \large \frac{f(t)}{t}=\frac{g(t)+l.t+k}{t}=\frac{g(t)}{t}+l+\frac{k}{t} $ donnerait :
$ \lim\limits_{t\rightarrow + \infty } \frac{f(t)}{t}=\lim\limits_{t\rightarrow + \infty }(\frac{g(t)}{t}+l+\frac{k_{0}}{t})=l $
Si $ \lim\limits_{t\rightarrow + \infty }f'(t)=l $ on devrait pouvoir écrire $ f $ sous la forme :
$$ \left\{ \begin{array}{ll}
f(t)=g(t)+l.t+k_{0} & \text{avec} \\
\lim\limits_{t\rightarrow + \infty } g'(t)=0 & \text{et}\\
k_{0} \ \text{constante}
\end{array} \right. $$
$ g $ ayant les même propriétés de $ f $ (continuité, dérivabilité etc ...)
$$ \left\{ \begin{array}{ll}
f(t)=g(t)+l.t+k_{0} & \text{avec} \\
\lim\limits_{t\rightarrow + \infty } g(t)=k_{1} & \text{et}\\
k_{0} \text{ et }k_{1}\ \text{constantes}
\end{array} \right. $$
Alors la limite de : $ \large \frac{f(t)}{t}=\frac{g(t)+l.t+k}{t}=\frac{g(t)}{t}+l+\frac{k}{t} $ donnerait :
$ \lim\limits_{t\rightarrow + \infty } \frac{f(t)}{t}=\lim\limits_{t\rightarrow + \infty }(\frac{g(t)}{t}+l+\frac{k_{0}}{t})=l $
отец (un autre père ENSICAENnais) сынок (& fils PCSI▸PC▸PC* 2020-23 à B.Pascal (63) ➠ EC Lille) и Дух мира (& esprit de 🕊)
Re: Exo d'analyse Help
Si $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} g'(t)=0$ alors on n'a pas forcément $\lim g(t)=cste$.
Pour le voir prendre $g(x)=\ln(x+1)$.
Pour le voir prendre $g(x)=\ln(x+1)$.
Re: Exo d'analyse Help
Contrexemple a écrit : ↑06 sept. 2022 12:28Bonjour,
$ $1) Montre que $f$ est lipschitzienne, sur un voisinage de $+\infty$.
2) En utilisant Taylor-Lagrange sur $[\sqrt t,\sqrt t+t]$ et en utilisant 1) : montre que $\lim\limits_{t\rightarrow + \infty }\dfrac{f(t+\sqrt t)}{t}=l$
3) Conclut.
Bonne journée.
C’est vraiment une méthode très compliquée … quand un jeune sup (ou spé) demande une aide il faudrait essayer d’être un peu plus « classique » dans vos conseils il me semble … (je sais qu’à sa place j’aurais paniqué)
2019/2021: MPSI/MP*
2021-... : CentraleSupélec
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Re: Exo d'analyse Help
Pour cet exo, on peut revenir à la définition de la limite et utiliser le théorème des accroissements finis, c’est il me semble la méthode classique
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2021-... : CentraleSupélec
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Re: Exo d'analyse Help
Juste une remarque : Taylor-Lagrange à l'ordre 1 c'est exactement le TAF.
Re: Exo d'analyse Help
Merci contrexemple du contre exemple, le débat est lancé en tout cas !Contrexemple a écrit : ↑07 sept. 2022 09:04Si $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} g'(t)=0$ alors on n'a pas forcément $\lim g(t)=cste$.
Pour le voir prendre $g(x)=\ln(x+1)$.
PS: je suis d'accord avec Tamador, quand j'ai vu ta solution je me suis dit p*n y a pas plus simple ?
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Re: Exo d'analyse Help
Voilà la réponse que j'avais en tête :
SPOILER:
Re: Exo d'analyse Help
C’est exactement la même idée en vérité … mais je trouve certaines étapes de votre démo peu naturelles pour un élève de sup.
Je manque probablement d’expérience mais je suis persuadé que 80% de mes camarades de sup auraient été décontenancé par votre formulation, même si elle est parfaitement valable.
2019/2021: MPSI/MP*
2021-... : CentraleSupélec
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