Théorèmes sur les puissances de matrices

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Théorèmes sur les puissances de matrices

Message par Metiti7 » 20 oct. 2022 14:02

Bonjour,
élève de terminale avec l'option maths expertes, je viens de découvrir la notion de matrice. Nous avons travaillé les puissances de matrices, et j'ai remarqué un élément, et formulé une conjecture. N'ayant pas les outils pour vérifier ma conjecture, et pas de connaissances assez fines en matrices pour trouver des contre-exemples, je m'adresse à vous.
Voici ce que j'ai remarqué : lorsque l'on met n'importe quelle matrice carrée à la puissance k, la matrice vérifiant certaines conditions, on finit toujours par obtenir une matrice diagonale dont les valeurs de la diagonale sont a^k. Ces conditions sont : toutes les valeurs de la matrice sont nulles, sauf quelques valeurs, toutes égales à a. Il y a une seule valeur différente de 0 par ligne et par colonne.

Ainsi, (désolé, je ne sais pas faire de matrices en LaTeX) [(0 4 0)(4 0 0) (0 0 4)] nous renvoie lorsque mis à une certaine puissance entière la matrice [(16 0 0)(0 16 0)(0 0 16)]

S'agit-il là d'une simple coïncidence, un d'un théorème établi sur les puissances de matrices ? Mon professeur de maths n'a pour l'instant pas encore pu me répondre, et je n'ai pas réussi à formuler la requête de manière suffisamment claire pour que Google me fournisse une réponse.

S'il s'agissait d'un théorème à énoncer, je l'énoncerais de la manière suivante :
Pour toute matrice carrée M de dimension m par m, telle que m² - m valeurs de M soient nulles, que toute valeur non nulle soit égale à un même réel a, et qu'il y ait une seule valeur non-nulle par colonne et par ligne, il existe nécessairement un entier strictement positif k tel que M^k soit égal à une matrice diagonale dont les valeurs de la diagonale sont égales à a^k.

Je vous en serai très reconnaissant si vous trouvez à quel théorème cette conjecture correspond, et je tiens à m'excuser pour la mauvaise qualité de ma rédaction.

Bien cordialement,
Metiti7

erratum : il ne s'agissait bien entendu pas de a² mais de a^k, idem dans la conjecture plus formelle.
Dernière modification par Metiti7 le 20 oct. 2022 19:46, modifié 1 fois.

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Re: Théorèmes sur les puissances de matrices

Message par Contrexemple » 20 oct. 2022 14:35

Salut,

Citation:
Il y a une seule valeur différente de 0 par ligne et par colonne...

Pour toute matrice carrée M de dimension m par m, telle que m² - m valeurs de M soient nulles...


Ta conjecture me semble juste.

Justification :
SPOILER:
$ $Soit $B=(e_1,...,e_n)$ une base de $E$ $\mathbb R$ ev de dim n.

Alors ta condition devient (me semble-t-il) :

$u$ endomorphisme associé sur $E,B$ (à la matrice suivant tes conditions) $u(e_i)=a.e_{\sigma(i)}$.

et $\sigma$ est une permutation de $\{1,...,n\}$.

Alors il existe $k$ tel que $\forall i\in[1,n]\cap \mathbb N, \sigma^k(i)=i$ donc $u^k(e_i)=a^ke_i$.


Cordialement.

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Re: Théorèmes sur les puissances de matrices

Message par Metiti7 » 20 oct. 2022 17:37

Merci beaucoup pour votre réponse si rapide, je vais essayer de comprendre l'explication avec mon professeur demain, car elle dépasse largement les notions abordables au lycée.

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Re: Théorèmes sur les puissances de matrices

Message par Contrexemple » 20 oct. 2022 18:25

Si ton prof n'a pas le temps et que tu es trés motivé, un cours d'algébre linéaire complet de a à z (10 h de cours environs) :

https://www.youtube.com/watch?v=AFdeofS ... KvykuliUAr

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Re: Théorèmes sur les puissances de matrices

Message par zygomatique » 20 oct. 2022 21:05

salut

une matrice qui ne contient qu'une seule valeur non nulle par ligne et colonne est une matrice de permutation ... "homothétique" : en terme d'espace vectoriel elle permute les vecteurs d'une base tout en les multipliant par un certain coefficient

une matrice de permutation est bijective donc (en d'autres termes) une puissance de cette matrice est l'identité et en dimension 3 il suffit d'élever à la puissance 3 pour obtenir l'identité (mais ça peut être moins que 3)

de plus dans ton exemple le coefficient est 4 et si tu connais la règle de multiplication d'une matrice par un scalaire alors ta matrice s'écrit 4M' et M' est une matrice de permutation ...

voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_de_permutation
Savoir, c'est connaître par le moyen de la démonstration. ARISTOTE

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Re: Théorèmes sur les puissances de matrices

Message par JosephLeger » 03 nov. 2022 20:51

Une valeur par ligne et par colonne c'est "presque" l'identité (aux coefficients et aux homothéties près). Si tous tes coefficients sont égaux, tu peux les sortir en facteur. Et évidemment (k . Id)^n = (k^n). Id si ça peut t'aider à te convaincre. Tu auras tout le temps et les outils pour démontrer ça plus tard mais c'est bien vu

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Re: Théorèmes sur les puissances de matrices

Message par autobox » 04 nov. 2022 17:09

Tu peux commencer par écrire que le coefficient (i,j) de $M^p$ est $\displaystyle\sum_{1\leqslant k_1,\cdots,k_{p-1}\leqslant m} M_{i,k_1}M_{k_1,k_2}\cdots M_{p-2,p-1}M_{p-1,j}$

Un terme de la somme est non nul si et seulement si $M$ a un coefficient $a$ aux positions $(k_{r},k_{r+1})$, $0\leqslant r\leqslant p-1$, où on a noté $k_0 = i$ et $k_p = j$. Dans ce cas le terme vaut $a^p$.

Je n'ai pas vérifié que ce soit bien le cas, mais essaie peut-être de montrer qu'il existe un $p$ et exactement $m$ paires $(i,j)$ d'indices telles qu'il existe une unique suite $k_0=i, k_1,\cdots, k_{p-1}, k_p = j$ d'éléments de $[\![1,m]\!]$ telle que $M_{k_r, k_{r+1}} = a$ ?

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