Valeurs entières de la fonction exponentielle

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Valeurs entières de la fonction exponentielle

Message par Metiti7 » 29 nov. 2022 23:48

Bonsoir, je suis élève en Terminale, et j'aurais une question :
existe-t-il un entier naturel n autre que 0 tel que $$ e^n\in\mathbb{N} $$ ?
J'ai essayé de trouver un résultat avec python, mais les valeurs sont vite devenues trop grandes. Ce qui est sûr, c'est qu'il n'y en a pas entre 1 et 750. Existe-t-il un moyen d'en trouver à part 0 ? Ou existe-t-il un moyen de montrer qu'il n'y en a pas ? Ou est-ce qu'on ne peut juste pas savoir ?
Merci d'avance !

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Re: Valeurs entières de la fonction exponentielle

Message par Hibiscus » 30 nov. 2022 09:32

Il n'y a que 0.

Je ne suis pas sûr qu'on puisse trouver un moyen de le prouver "analytiquement" avec uniquement des outils de terminale, par contre.. (mais ça se montre, oui !)

Une manière de s'en convaincre en langage informatique sans faire varier ton $ n $ jusqu'à beaucoup trop de chiffres est d'essayer de construire un graphe d'inégalités, tu peux par exemple chercher les $ (x,y) $ tels que $ \exp \lfloor x \rfloor = \lfloor y \rfloor $
ça va te donner un petit carré par exemple avec des $ y $ dans un certain intervalle et des $ x $ dans un autre et tu pourras ainsi contraindre ta recherche aux "entiers" présents dans ce carré. (tu trouveras alors un point : $ (0,1) $)

(j'ai mis des floor, mais tu mets des round, des ceil, ce que tu veux)
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Re: Valeurs entières de la fonction exponentielle

Message par Metiti7 » 30 nov. 2022 10:02

D'accord merci beaucoup, je vais essayer de le faire. On m'a aussi indiqué que cela était faisable avec la transcendance de e. C'est certes totalement hors programme, mais avec quelques recherches, on peut comprendre l'explication.
Merci !

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