Déterminant par blocs

[KroBa]

Bonjour, je suis à la recherche d'un moyen de calculer rigoureusement le déterminant d'une matrice par blocs de taille n^2, composées de n^2 matrices scalaires $$\lambda_{i,j}I_n$$ de taille n, en "position" (i,j) (je ne sais pas comment taper ça en latex, désolé). Le déterminant en question est très certainement $$(\det(\lambda_{i,j})_{1\le i,j\le n})^n$$ mais je ne parviens pas à le prouver. Un moyen de le faire serait de généraliser la formule pour le déterminant par blocs de $\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$ quand C (ou B) et D commutent (qui donnerait pour moi en taille n le déterminant de la matrice obtenue par la formule du déterminant avec les permutations appliquées à mes n^2 matrices par blocs plutôt qu'aux coefficients, mais est-elle vraie?). Dans tous les cas la démonstration par opérations élémentaires que je connais ne s'adapte pas.
Merci par avance
Joyeux Noël à tous

[prepamath]

Bonjour,
Voici une idée de preuve, qui repose sur ce que vous connaissez ( peut-être ) de la construction du déterminant.

Notons$ \Lambda_j l $es $ n $ colonnes de taille $ n $, constituées des scalaires $ \lambda_{i,j} $. Par exemple,$ \Lambda_1 = (\lambda_{1,1},\ldots,\lambda_{1,n})^T $.

Notons$ f $ la fonction $ \left(\mathbb{R}^n\right)^n \mapsto \mathbb {R} $ qui a $ (\Lambda_1,\ldots,\Lambda_n) $associe le déterminant que vous décrivez.

Cette fonction$ f $ est une forme $ n $-linéaire et alternée.

Donc en particulier, il existe $ \mu $ tel que$ f = \mu \text{det} $ où det est l'opérateur déterminant des matrices $ n \times n. $

Or, si on prend les$ \Lambda_j $tels que $ \Lambda_j = \varepsilon_j $ où $ ( \varepsilon_j) $est la base canonique de$ \mathbb{R}^n $, $ f(\Lambda_1,\ldots,\Lambda_n) = 1 = \mu \times 1 $ donc$ f = \text{det} $.

[KroBa]

Je pense qu'il y a méprise, je suis désolé, je n'ai pas du être très clair. Mon déterminant étant de taille n^2*n^2 je ne pense pas que la fonction f soit linéaire en la première variable par exemple. Car cette colonne apparaît en quelque sorte n fois dans ma matrice (décalée d'une ligne à chaque fois) donc il faut développer 2^n termes différents si par exemple on calcule $$f(\Lambda_1+\Lambda_1',\ldots,\Lambda_n)$$. Par ailleurs je suis assez convaincu que le résultat est $$(det(\lambda_{i,j}))^n$$

[JeanN]

Tu peux trigonaliser par blocs (en considérant que ta matrice est à coefficients complexes) en utilisant une matrice de passage fabriquée à partir d'une matrice de passage qui trigonalise $A$.

[KroBa]

Merci beaucoup, je vais essayer de regarder ça mais je n'ai pas encore vu la réduction en cours malheureusement

[JeanN]

Dans ce cas, calcule le déterminant par opérations élémentaires par blocs en triangularisant par blocs ta matrice.