Subtilité sur le pgcd ?

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Subtilité sur le pgcd ?

Message par Nathgori » 07 janv. 2023 04:22

Salut, si l'on définit le pgcd d'une famille $ (a_i)_{1\leqslant i\leqslant n} $ d'entiers comme l'unique générateur positif $ d\in\mathbb N $ tel que $ \sum_{i=1}^n a_i\mathbb{Z}=d\mathbb{Z} $ alors on voit en particulier que le pgcd de la famille vide (pour $ n=0 $) est nul et que plus généralement le pgcd est nul si et seulement si $ \forall i\in\{1,\dots n\} $, $ a_i=0 $.

Dans le cours il est dit et la démo est triviale que si les $ a_i $ sont deux à deux premiers entre eux, alors les $ a_i $ sont premiers entre eux dans leur ensemble (la récriproque est en général fausse). Sauf que selon moi cette propriété est vraie uniquement pour une famille non vide d'entiers et je ne vois jamais cette hypothèse dans les trois cours de prépa que j'ai regardés.

En effet, on a :
- l'assertion ($ \forall (i,j)\in\emptyset\quad i\neq j\implies pgcd(a_i,a_j)=1 $) qui est vraie
- comme écrit avant, le pgcd de la famille vide est égal à $ 0\neq 1 $

J'ai raison ?

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Re: Subtilité sur le pgcd ?

Message par JeanN » 08 janv. 2023 00:14

Oui, tu as raison.
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Re: Subtilité sur le pgcd ?

Message par Celeste49 » 14 juin 2023 07:34

Salut ! Effectivement, tu as bien cerné le problème. Par définition, une famille vide ne peut pas respecter l'assertion que les éléments sont deux à deux premiers entre eux. Pour que cette assertion soit vraie, il faudrait au moins deux éléments. Donc, t'as raison. Bien vu, mec !

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