Fonctions à trouver

[certus]

Déterminer les fonctions g de R dans R continues et bornées qui vérifie
$ 4g(x)=g(x-1)+g(x+1)+g(x-\pi)+g(x+\pi) $

Par quoi commencer ?

Source un étudiant de prépas

[U46406]

Je te soumets 2 ou 3 idées en message privé. Je ne suis pas prof de math, et je n'ai donc pas le courage de poster publiquement au cas où je me trompe.

Tu as besoin de la solution à quelle heure ??

[certus]

à U46406 tu peux poster tes idées. Tout le monde peut se tromper, moi le premier.

[U46406]

(En plus de ma suggestion faite en message privé. En espérant que des gens vont avoir le temps de lire et mieux pouvoir t'aider, comme la journée est terminée.)

Est-ce qu'il faut raisonner de manière théorique sur une famille de fonctions générée à partir de n fonctions dont il faut faire l'hypothèse qu'elles respectent la condition ?

(Comme tu dis, je peux me tromper - ça fait presque 35 ans que j'ai suivi mon dernier cours de math en prépa. )

[H2Fooko]

Entre la poire et le fromage, je tenterais une transformée de Laplace :

SPOILER:

$$ 4.G(p)=G(p).e^{-p}+G(p).e^{+p}+G(p).e^{-\pi.p}+G(p).e^{+\pi.p} $$
soit :
$$ 4.G(p)=G(p).\left( e^{-p}+ e^{+p}+e^{-\pi.p}+e^{+\pi.p}\right) $$
et $$ p=j.\omega $$

$$ 4.G(j.\omega)=G(j.\omega).\left( e^{-j.\omega}+ e^{+j.\omega}+e^{-j.\omega\pi}+e^{+j.\omega\pi}\right) $$
$$ 4.G(j.\omega)=G(j.\omega).\left( 2.\cos\omega+2.\cos\omega\pi \right) $$

bon à toi de voir pour continuer / simplifier etc ... et vérifier les précautions à prendre
puis transformée inverse ou pas

Edit:
si je continue vers le cul de sac évoqué dans mon post suivant :
$$ G(j.\omega)=G(j.\omega).\cos\frac{\omega\left( 1+\pi \right)}{2}.\cos\frac{\omega\left( 1-\pi \right)}{2} $$
équation complexe où il faudrait que les 2 cosinus soient égaux à 1 ou -1 simultanément !
$$ \left\{ \begin{array}{cl}
\frac{\omega\left( 1+\pi \right)}{2}=0 & : \text{modulo 2 } \pi\\
\frac{\omega\left( 1-\pi \right)}{2} =0 & : \text{modulo 2 } \pi
\end{array} \right. $$ ou $$ \left\{ \begin{array}{cl}
\frac{\omega\left( 1+\pi \right)}{2}=\pi & : \text{modulo 2 } \pi\\
\frac{\omega\left( 1-\pi \right)}{2} =\pi & : \text{modulo 2 } \pi
\end{array} \right. $$
soit $ \omega=0 $ ou $ \left( \omega=\frac{2.\pi}{1+\pi}\text{ et }\omega=\frac{2.\pi}{1-\pi} \right) $

Comme U46 ça fait loin

[H2Fooko]

Bonsoir,

Je pense que ma précédente idée était une impasse.

toute fonction qui vérifie :
$$ g(x)=g(x-1)=g(x+1)=g(x-\pi)=g(x+\pi)=\text{ Constante} $$ est un premier cas particulier.

Y-a-t 'il d'autres fonctions que les fonctions constantes ?
Fonctions périodiques ?

Alors pourquoi pas s'inspirer de cet exo :
https://www.sarthaks.com/419149/if-the- ... eriod-of-f

[zygomatique]

salut

on remarque que toute fonction affine est solution ... mais une fonction affine n'est pas bornée donc il reste les fonctions constantes

si on suppose g bornée alors puisqu'elle est continue elle atteint son maximum en un réel a

or $ 4 g(a) = g(a - 1) + g(a + 1) + g(a - \pi) + g(a + \pi) \iff [g(a) - g(a - 1)] + [g(a) - g(a + 1)] + [g(a) - g(a - \pi)] + [g(a) - g(a + \pi)] = 0 $

on a donc une somme nulle de quatre termes positifs (par définition du maximum) donc on en déduit que $ g(a) = g(a \pm 1) = g(a \pm \pi) $

mezalor $ g(a) = g(a + m \cdot 1 + n \cdot \pi) $ avec $ (m, n) \in Z^2 $

or l'ensemble des réels $ \{a + m \cdot 1 + n \cdot \pi / (m, n) \in Z^2 \} $ est dense dans R

la continuité de g assure alors qu'elle est constante ...

on peut faire le même raisonnement avec le minimum de g ...

[Contrexemple]

Salut,
$ $
@Zygomatique : pourquoi le max serait atteint ? En effet, elle pourrait être croissante continue et bornée, sur $\mathbb R$.

Sinon, je trouve ton idée excellente.

Cordialement.

Edit : si on a $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} g(x)=a$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} g(x)=b$.

Alors $\forall c\in\mathbb R^*, g(x+c)-g(x)$ est solution avec le min ou max atteint (au moins un des 2).

Donc par le raisonnement de Zygomatique : $\exists d \in\mathbb R,\forall x\in\mathbb R, g(x+c)-g(x)=d$

Comme $g$ est bornée $d=0$ et $\forall c \in\mathbb R^*, g(x+c)=g(x)$ donc $g$ constante.

[H2Fooko]

Bien vu , faut la supposer affine au départ

[H2Fooko]

Désolé de mettre encore un jeton dans la machine.

En étudiant la réponse de notre mathématicien indien AashiK qui relève d'astuces et de combinaisons linéaires de l'équation de départ $ f(x+1)+f(x-1)=\sqrt{3}.f(x) $ permettant de mettre en évidence la période cherchée, il se trouve que la transformée de Laplace permet de trouver cette même période :
$$ \sqrt{3}.F(p)=F(p).e^{-p}+F(p).e^{+p} $$ soit
$$ \frac{\sqrt{3}}{2}.F(p)=F(p).(\frac{e^{-p}+e^{+p}}{2}) $$ et donc
$$ \omega =\frac{\pi}{6}\ \text{modulo }2\pi $$
La période est de 12 comme celle d'AashiK

On peut donc maintenant trouver une période de 8 avec Laplace et une autre équation fonctionnelle similaire: $ f(x+1)+f(x-1)=\sqrt{2}.f(x) $
La méthode d'Aashik permet là encore de vérifier :
En remplaçant $ x $ par $ x-1 $ puis par $ x+1 $
$$ f(x+2)+f(x)=\sqrt{2}.f(x+1)\qquad \text{Eq.}(2) $$
$$ f(x)+f(x-2)=\sqrt{2}.f(x-1)\qquad \text{Eq.}(3) $$
$ (2)+(3) $ donne
$$ f(x+2)+f(x-2)=0\qquad \text{Eq.}(4) $$
en replaçant $ x $ par $ x-2 $ on a
$$ f(x)=-f(x-4)\qquad \text{Eq.}(5) $$
en replaçant finalement $ x $ par $ x-4 $ dans (5) on a
$$ f(x-4)=-f(x-8)=-f(x)\qquad \text{Eq.}(5) $$

Mon impasse conduisait à :
$$ \text{soit }\omega=0 \text{ ou } \left( \omega=\frac{2.\pi}{1+\pi}\text{ et }\omega=\frac{2.\pi}{1-\pi} \right) $$

Si $ \omega=0 $ correspond aux fonctions constantes trouvées par zygomatique et Contrexemple

Je serais pas loin de penser qu'il faudrait rajouter aux fonctions constantes les fonctions périodiques de période:
$$ ppcm(1-\pi;\ 1+\pi)=\pi^{2}-1 $$

Seulement je n'arrive pas à le vérifier avec la méthode d'Aashik

Qu'en pensez vous ?