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Bonjour je bloque depuis quelques jour sur cette exercice :
Pour tout entier strictement positif n , trouver le reste de la division de (7n)!/[(7^n)*(n!)]
j'ai essayé pas mal de piste mais aucune n'a abouti

Combien y a-t-il de multiples de 7 dans (n+1)x(n+2)x .... x (7n-1) x (7n) ?

il y en a : (n+1)x(n+2)x .... x (7n-1) x (7n)/7

Observe les premiers n
n=1 / il y a 7 -> 1 multiple
n=2 / 7 et 14 ->2 multiples
n=6 / 7 14 21 28 35 42 -> 6 multiples
n=7 / 14 21 28 35 42 49 -> 6 multiples mais 49 compte deux fois, ça en fait 7, etc...
Donc démontrer proprement que (n+1)x(n+2)x .... x (7n-1) x (7n) est un multiple de 7^n et conclure

nb : j'aurais dû demander Combien y a-t-il de facteurs multiples de 7 dans (n+1)x(n+2)x .... x (7n-1) x (7n) ?

d'accord merci, je vais y réfléchir

Il suffit de remarquer : $ \dfrac{(7n)!}{7^nn!}=\dfrac{1\times2\times3\times\dots\times7n}{7\times14\times21\times\dots\times7n} $

jandri a écrit : ↑

22 nov. 2023 19:14

Il suffit de remarquer : $ \dfrac{(7n)!}{7^nn!}=\dfrac{1\times2\times3\times\dots\times7n}{7\times14\times21\times\dots\times7n} $

En effet, c'est beaucoup plus beau, merci !