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Bonjour,

Je suis en deuxième année de CPGE (MP), j'ai du mal à comprendre la démonstration du théorème de Stockes dans le cas carthésien.
Voici les grandes lignes de la démo:
L'espace est traversé par un champs vectoriel $ \vec A(r, t) $ "absolument" quelconque.
On se place dans le plan horizontal $ (xOy) $
On définit $ dC_z $ la circulation le long du contour élementaire fermé entourant l'élément de surface $ dS_z=dxdy $ du champs vectoriel $ \vec A $
Calculons $ dC_z $:

$ dC_z=(\vec A \vec {dl})_1+(\vec A \vec {dl})_2+(\vec A \vec {dl})_3+(\vec A \vec {dl})_4 $ (ce que j'entend par 1, 2, 3, 4, à la ligne du dessous)
$ dC_z=A_x(x,y,z)dx+A_y(x+dx, y, z)dy-A_x(x, y+dy, z)dx-A_y(x, y+dy, z)dy $
...
$ dC_z=\vec {rot} \vec A. \vec {dS_z} $

Je ne comprends pas ce terme $ -A_x(x, y+dy, z)dx $

J'aurais voulu mettre $ -A_x(x+dx, y+dy, z)dx $ pourtant, cela ne semble pas équivalent, le champ étant quelconque.

Mon raisonnement étant le suivant, on part du point 3 vers le point 4 (retour selon - $ \vec u_x $) d'où le -dx et on part du point 3, qui a pour coordonnées $ (x+dx, y+dy, z) $ sur lequel on effectue un déplacement élémentaire selon $ - \vec u_x $.

Pourtant mon professeur indique qu'il préfère raisonner dans l'autre sens (au lieu de calculer la circulation de 1->2->3->4 il effectue 1->2->3 puis l'opposé de 1->4->3). Je comprends que son raisonnement simplifie les calculs mais je ne comprends pas en quoi on calcul effectivement la bonne circulation.

Désolé pour ce long message, mais il faut donner beaucoup d'information pour que vous puissiez m'aider au mieux.

Merci par avance à celui ou celle qui prendra le temps de me répondre.

P.S. Je n'ai pas trouvé comment envoyer des images sur le forum, dois-je l'uploader moi même par un autre service et y insérer le lien ici ?

Oups, j'avais noté une erreur dans mon cours:

La deuxième ligne de calcul est ($ -A_y(x, y+dy, z)dy->-A_y(x, y, z)dy $)
$ dC_z=A_x(x,y,z)dx+A_y(x+dx, y, z)dy-A_x(x, y+dy, z)dx-A_y(x, y, z)dy $

Mais je ne suis toujours pas sûr de comprendre la légitimité du calcul de la circulation...

Bon,
j'ai finalement trouvé, mais mais démonstration ne saurait être rigoureuse. (hors programme de spé).
La forme global du théorème de Stokes (désolé pour l'orthographe...) permet de comprendre intuitivement les termes de la circulation élémentaire.

La circulation définie le long du contour élémentaire formant un carré (élémentaire) dans le plan (xOy) est l'intégrale sur le contour (fermé) élémentaire de la circulation élémentaire (que l'on cherchait) du champs A.
En admettant que l'on peut utiliser Chasles sur ces intégrales, on obtient 4 intégrales,
($ \int \vec A \cdot \vec {dl} $ de x->x+dx à y fixé, y->y+dy à x+dx fixé, puis de x+dx->x à y+dy fixé et y+dy->y à x fixé.
Pour obtenir la circulation élémentaire on a besoin d'avoir des intégrales sur des intervalles croissants, donc pour nos deux derniers termes, on intervertit les bornes et on fait apparaitre un signe moins.
A présent, en considérant que la somme des termes intégrés forme la circulation élémentaire, on obtient bien le résultat du cours.
Je ne suis pas sûr que cela soit super claire, mais si ça peut en aider d'autres, les calculs proposés devrait suffire à comprendre mon raisonnement, et donc le résultat.

Bonne soirée à tous !