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$ $Bonjour,

Quelqu'un aurait-il un exemple d'anneau commutatif $A$ tel qu'il existe deux éléments $a$, $b$ dans $A$ avec $b$ non nul tel que pour tout $n$ appartenant à $\mathbb{N}$ strictement positif, $a^n$ divise $b$ ?

Merci !

Bonjour,

Quand $a,b$ sont des élèments inversibles de $A$.

Bonne journée.

Bonjour,

Merci pour la correction.
Je voulais bien entendu dire quand $a$ et $b$ sont non inversibles (éviter les cas triviaux).

Ce n'est pas tant une question d'inversibilité que d'intégrité. La relation de divisibilité n'est pas très intéressante dans un anneau non intègre, et un exemple très simple est fourni par $ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $ avec $ a=b=(1,0) $.

ll est plus délicat de produire des exemples où l'anneau est intègre. L'exemple le plus simple semble être le suivant : on prend le corps $ \mathbb{Q}(X) $ des fractions rationnelles en une indéterminée $ X $ à coefficients rationnels, et son sous-anneau $ A $ engendré par les éléments de la forme $ 2^{-n} X $ où $ n \in \mathbb{N} $ (autrement dit l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients entiers de produits de monômes de cette forme). On observe alors que $ b:=X $ est bien divisible par toute puissance de $ a:=2 $ dans $ A $, mais que $ a $ n'est pas inversible (examiner le coefficient constant d'un élément de $ A $ vu comme polynôme selon $ X $).

C'est exactement cela que je recherchais, merci beaucoup !