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Une façon de s'en convaincre, c'est de regarder un peu la notion de différentielle, et de définition des états. L'énergie interne, U, c'est une fonction d'état. Donc tu peux écrire un truc du genre (pardon aux matheux) $ U = U(S,V,n,x) $, avec S, l'entropie, V le volume, n, la matière, x, peu importe.
Ensuite, tu as le droit d'écrire la différentielle de l'énergie interne pour peu que tu puisses définir des états (donc que l'évolution du système soit suffisament lente pour définir une température ou une pression. En pratique, on simplifie souvent cette hypothèse en "quasi statique.)
Et donc, tu peux écrire sans gêne, (encore pardon aux matheux)
$ dU = \left(\frac{\partial U }{\partial S}\right)_{V,n,x} dS + \left(\frac{\partial U }{\partial V}\right)_{S,n,x} dV + \left(\frac{\partial U }{\partial n}\right)_{S,V,x} dn + \left(\frac{\partial U }{\partial x}\right)_{S,V,n} dx $

Bon, à un moment, il va falloir simplifier un peu et sortir quelques hypothèses, par exemple,
Système thermoélastique => entièrement caractérisable par trois grandeurs d’état dont au moins une est extensive, par exemple S, V et n => le quatrième terme s'en va pour l'instant,
Système fermé => n = constante, on dégage le troisième terme aussi.

Ensuite, on sort deux définitions, appelons $ p \equiv - \left(\frac{\partial U }{\partial V}\right)_{S,n} $, et $ T \equiv \left(\frac{\partial U }{\partial S}\right)_{V,n} $
On n'a pas vraiment prouvé ici que ce P et ce T correspondent bien à la pression et la température usuelles, mais en réalité, on arriverait à démontrer que ce P "thermo" est est identique à la pression définie mécaniquement, et que ce T "thermo" est équivalent à celle définie cinétiquement.
On peut aussi se dire que ce sont des définitions postulées.

Ce que ça veut dire, en fait, c'est que cette première identité thermodynamique ne découle de "rien".
Elle s'applique indifféremment du fait que la transformation implique un travail autre que les forces de pression, ou qu’il y ait des variations d’énergie potentielle ou cinétique (tant que ça ne fait pas une dépendance en U, à ce moment-là, on ne pourrait pas virer le terme en 'x'. )
Elle est bien "vraie tout le temps" (pour tout état & transformation), et c'est pour identifier l'identité thermo et le premier principe ("terme à terme" en quelques sortes) que tu as besoin de l'hypothèse "réversible".