hyperplan stable par une endomorphisme

[yusefaruabushi]

Bonjour tous.
J'espère que vous allez bien.
Je travaille actuellement sur un exercice concernant les sous-espaces stables par un endomorphisme.
J’ai rencontré une question qui je ne savais pas même comment commencer.
voila la question :
Soit λ ∈ R. On suppose que u - λId n'est pas injectif Montrer qu'il existe H hyperplan de E stable par u.
je suis en sup .

[Contrexemple]

Bonjour,
$ $

Montre que pour $f \in L(E)$ quelconque:

a) $U$ sev stable par $f$, alors pour tout $a \in \mathbb R$, $U$ stable par $f+a.id$.

b) pour tout sev $A$, $f(E)+A$ stable par $f$.



Utilise ces 2 points pour conclure.



Bonne journée.

[yusefaruabushi]

Les 2 points que tu as donnés je pense qu'ils sont évidents et je ne sais pas comment je peux les utiliser pour aboutir à le resultat

[noiraud1]

On peut s'intéresser à H=Im(u-\lamdba Id)+Ker(u-\lambda Id).

[yusefaruabushi]

Il faut s'intéresser à H=Im(u-\lamdba Id).

Oui j’ai déjà essayé mais le problème c''est que je ne suis pas sûr que dim( Im( u - λ Id) ) = n-1

[Contrexemple]

En utilisant le b), on trouve un hyperplan qui stabilise $u-\lambda id$

Et en utilisant le point a) tu obtiens que ce même hyperplan stabilise aussi $u$

[zygomatique]

salut

si $ u - \lambda I $ n'est pas injectif alors il existe des vecteurs x et y distincts et non nuls tel que $ (u - \lambda I) x = (u - \lambda I) y $

donc $ (u - \lambda I)(x - y) = 0 \iff u(x - y) = \lambda (x - y) $

et $ \lambda $ est valeur propre de u