Relation de recurrence sur la suite des premiers

[Metiti7]

Bonjour, je suis tombé sur l'exercice suivant :
La suite croissante des nombres premiers satisfait-elle une relation de récurrence à coefficients rationnels ?

J'ai posé mes coefficients rationnels et essayé (sans succès) de conclure par des arguments de divisibilité/Gauss/modulo p en regardant en particulier ce que donne la relation de récurrence pour obtenir un nombre premier ne divisant aucun des membres des quotients des coefficients rationnels de la relation.

Merci

[M.SDR]

Bonsoir,

Intuitivement, la réponse à la question donnée dans l'exercice est que la suite des nombres premiers ne satisfait aucune relation de récurrence à coefficients rationnels. Sinon, ce serait facile de déterminer un nombre premier à partir de ceux qui le précèdent, ce qui n'est pas encore faisable (surtout pour les nombres premiers très grands).

Pour essayer de résoudre ton exercice, raisonne par l'absurde en supposant que pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ p_{n+k}=\displaystyle{\sum^{k-1}_{i=0} \alpha_i p_{n+i}}=\alpha_0 p_n + ... + \alpha_{k-1} p_{n+k-1} $, puis essaie par exemple de déterminer ce que vaut $ p_{n+k}-p_{n+k-1} $, et en déduire quelque chose. (Penses en termes d'arithmétique: un nombre impair moins un nombre impair plus petit est égal à un nombre ...)

Je propose ma solution en spoiler si jamais (s'il y a une erreur, ne pas hésiter à me le faire remarquer)

SPOILER:

Raisonnons par l'absurde et supposons que pour tout $ k \in \mathbb{N}^{*} $, pour tous $ \alpha_0,...,\alpha_{k-1} \in \mathbb{Q} $ et pour tout $ n \in \mathbb{N} $, on a $ p_{n+k}=\displaystyle{\sum^{k-1}_{i=0} \alpha_i p_{n+i}} $.

On a : $ p_{n+k}-p_{n+k-1}=2q,\ q \in \mathbb{N} $ par le fait que la différence de deux nombres impairs est égale à un nombre pair. Mais, on a aussi que: $ p_{n+k}-p_{n+k-1}= \sum^{k-1}_{i=0} \alpha_i p_{n+i} - \sum^{k-2}_{i=0} \alpha_i p_{n+i} = \alpha_{k-1}p_{n+k-1} $.

D'où : $ 2q = \alpha_{k-1}p_{n+k-1} $.

Cette égalité est clé, puisqu'elle montre que chaque terme de la somme peut s'écrire comme un entier pair (et donc toute la somme est égale à un entier pair aussi). Pour la retrouver à chaque rang, il suffit d'adapter les indices.

Or, cela reviendrait à dire qu'à partir d'un certain rang, tous les nombres premiers sont pairs, ce qui est absurde.

Ainsi, on en conclut que la suite des nombres premiers ne satisfait aucune relation de récurrence à coefficients rationnels.