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Salut,

Par curiosité en lien avec mon TIPE je m'intéresse à cette question.

On sait que l'existence d'idéaux maximaux dans un anneau commutatif non nul est assurée par le théorème de Krull qui est équivalent à l'axiome du choix. De cela découle l'existence d'idéal premier dans tout anneau commutatif non nul. Cette deuxième partie est triviale car tout idéal maximal est premier (car un corps est intègre).

Par contre, est-ce qu'il y a un moyen, sans l'axiome du choix, de montrer l'existence d'idéal premier dans un anneau commutatif non nul ?

Merci !

Si $A$ est un anneau commutatif alors $A$ est lui même un idéal premier. Si $A$ est de plus supposé intègre alors $\{0\}$ l'est aussi. Il faudrait donc reformuler la question.

Non, un idéal premier est par définition strict donc différent de A.

Je crois que ma question est assez difficile ou alors je la formule mal mais mon colleur m'a dit qu'il savait pas si c'était possible.

On me dit de pointer vers https://mathoverflow.net/questions/9854 ... -of-choice