Exercices de MPSI

[Yoki]

Bien joué mathphilie ! C'est en effet un bon moyen d'obtenir une valeur approchée de racine de 2 et on voit que ça va vite si on calcule les premiers termes en commençant par 2.
Mais ça m'étonne que personne n'ait pas pensé à utiliser la fonction la plus triviale s'annulant en $ \sqrt2 $ qui s'exprime par: $ x^2 - 2 $.
Ensuite, il suffit d'utiliser l'équation de la tangente et d'exprimer $ x $ à partir de là. On on obtient alors une suite $ (x_n) $ qui a pour limite le nombre voulu.
Si ça vous amuse, vous pouvez essayez de trouver la formule par vous même à partir de ces indications.

Pour info, la méthode de Héron que tu as utilisé est un cas particulier de cette méthode, qui est l'approximation de Newton. Cette méthode permet de calculer des valeurs approchées de zéros de fonctions

[lsjduejd]

On peut imaginer que $ a $ soit la limite d'une suite qui tend vers $ 2 $ comme par exemple :

2

De plus tes histoires d'approximation, ça ne fait pas grand sens... Tu ne quantifies pas l'écart de l'approximation à la valeur initiale : c'est du bon bluff.

Dans le même genre je peux dire :
$ exp(\pi)-\pi=20 $

Je ne comprends pas... Que veut tu dire par écart de l'approximation à la valeur initiale ?

Bah ici par valeur initiale j'entends valeur à approximer (ie $ \sqrt2 $) et par écart de l'approximation, j'entends précision de l'approximation.

Pour info, la méthode de Héron que tu as utilisé est un cas particulier de cette méthode, qui est l'approximation de Newton. Cette méthode permet de calculer des valeurs approchées de zéros de fonctions

Et en arithmétique, y'a le lemme de Hensel.

[Hunted]

J'imagine que si tu veux savoir à quel niveau de précision est l'approximation il suffit de faire la différence de la valeur exacte et de l'approximation, non ?

[lsjduejd]

Juste pour te faire comprendre :

$ 20*\sqrt7=\sqrt{35-\frac{37}{28}} $ à $ \sqrt{35-\frac{37}{28}}-20*\sqrt7 $ près.
Ca te semble intéressant comme affaire ?

[mathophilie]

@Yoki : Merci Je connaissais pas Héron, mais je sens que ca va me changer la vie pour certains exos de suites C'est cool une méthode générale comme ça pour calculer des racines
Je vais regarder pour la méthode des tangentes, mais j'avoue que quand on me parle d'approximation, je pense pas aux tangentes C'est dingue comme parfois penser un problème """algébrique""" """géométriquement""" ca aide !

Je vous met un exo guidé que j'ai piqué dans un livre (de l'ancien programme) qui nous amène à établir que :

$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} = e $

Voici l'exo guidé (mais quand même assez difficile) :

Pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, on pose : $ I_n = \int_{1}^e \frac{(\ln x)^n}{x^2}\, \mathrm{d}x $

1- On pose, pour tout $ x \in [1 ; e] $ : $ F(x)= \frac{1+ \ln x}{x} $ . Calculer $ F'(x) $ puis en déduire $ I_1 $ .

2- A l'aide d'une intégration par parties, montrez que, $ \forall n \in \mathbb{N}^* $ :

$ I_{n+1} = - \frac{1}{e} + (n+1)I_n $

3- Montrer par récurrence que, $ \forall n \in \mathbb{N}^* $ :

$ \frac{1}{n!} I_n = 1- \frac{1}{e} (1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} +...+ \frac{1}{n!}) $

4- En utilisant un encadrement de $ \ln x $ sur l'intervalle $ [1 : e] $, montrer que,
$ \forall n \in \mathbb{N}^* $ :
$ 0 \leqslant I_n \leqslant 1 $

5- En déduire :
$ \lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} +...+ \frac{1}{n!} $

Je viens de voir ton exo

Wallissen en avait proposer un similaire qui aboutissait au même résultat mais sans intégrales ^^

C'est quoi l'IPP ?

[Hunted]

Juste pour te faire comprendre :

$ 20*\sqrt7=\sqrt{35-\frac{37}{28}} $ à $ \sqrt{35-\frac{37}{28}}-20*\sqrt7 $ près.
Ca te semble intéressant comme affaire ?

Bah non car l'approximation est grossière ! Puis ça parait redondant écrit comme ça, dans le sens où c'est trivial, non ?

Mais dans mon cas, l'approximation peut être "aussi bonne que l'on veut", non ?

[lsjduejd]

Ce qui peut être intéressant c'est la vitesse de convergence.
Parce que sinon je peux t'en trouver plein des suites qui convergent vers $ \sqrt2 $

Bon et du coup comme ça a un "rapport" avec les vitesses de convergence, et comme ça prolonge l'exercice cité ci-dessus :

Montrer que $ \sum_{k\in\mathbb{N}} \frac{1}{k!} $ est irrationnel.

[Hunted]

Ce qui peut être intéressant c'est la vitesse de convergence.
Parce que sinon je peux t'en trouver plein des suites qui convergent vers $ \sqrt2 $

J'imagine !
Mais je ne vois pas où j'ai besoin de suites pour donner une approximation de $ \sqrt{2} $, je pensais qu'il suffisait de prendre un $ a $ assez proche de $ 2 $. Je n'ai nullement besoin de suites pour faire ça, par exemple, je prends $ a=2,0000000... $(autant de 0 qu'on veut)$ 1 $ pas besoin de suite pour trouver ce nombre, non ?

[BLH37]

Soient a $ \geq 2 $ un entier et m et n deux entiers strictement positifs. Exprimer $ pgcd(a^m-1, a^n-1) $ en fonction de a,m et n.
C'est assez dur, je l'ai déterré du topic ^^

[lsjduejd]

Et comment tu quantifieras la précision de approximation ? Au pifomètre ?