Exercices de MPSI

[mathophilie]

Ah bon, ok

Ahah quel dommage !

[wallissen]

Y en a d'autres qu'on peut trouver ici avec leurs corrigés http://d.tarfaoui.free.fr/cg/
Celui que j'ai donné correspond à exo 1 année 1990

[mathophilie]

Merci pour le lien !

[wallissen]

De rien , je donne aussi le lien pour nos CG. Sachant que beaucoup d'entre eux (en maths ) sont mal numérisés
http://terminales.examen.sn/index.php?o ... Itemid=510
Tu vas surement trouver les sujets de philo ( et de français pour la Première) très abordables

[mathophilie]

Soient a $ \geq 2 $ un entier et m et n deux entiers strictement positifs. Exprimer $ pgcd(a^m-1, a^n-1) $ en fonction de a,m et n.
C'est assez dur, je l'ai déterré du topic ^^

Si t'y arrives, on peut aller un peu plus loin :

Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite d'entiers naturels strictement croissante telle que pour tout entier naturel k, on ait : $ u_k $ divise $ u_{k+1}. $On suppose de plus que $ S=\sum_{k\in\mathbb{N}}\frac{1}{u_k} $ est rationnel. On note alors $ S=\frac{p}{q} $ avec $ (p,q)\in\mathbb{N^*}^2 $, p et q premiers entre eux.

Montrer alors que : $ 2^{-k}u_k\rightarrow +\infty $ est équivalent à ce que q ne divise aucun $ u_k $.

Soient $ a_1, a_2,\cdots, a_n $des réels strictement positifs tels que $ a_1a_2\cdots a_n = 1 $. Montrer que $ a_1+a_2+\cdots+ a_n \ge n $.

Des indications données par Siméon à Hunted :

Cher/chère Hunted,

Ton idée est intéressante, mais on ne peut bien sûr pas se ramener à l'hypothèse d'appariement dans le cas général car l'hypothèse (globale) $ a_1\dots a_n = 1 $ ne donne aucune information (locale) sur la valeur des couples $ a_ia_j $.

En raisonnant globalement, et avec un peu d'astuce, on peut tout de même faire aboutir ton idée de n'utiliser que l'inégalité $ x + x^{-1} \geq 2 $. Je crois que c'est Cauchy qui s'en est rendu compte le premier. Voici une indication :

SPOILER:

Démontrer d'abord le résultat pour tout $ n $ de la forme $ n = 2^k $ par récurrence sur l'entier $ k $.

Une autre façon de s'en sortir avec des idées proches consiste à généraliser un peu l'inégalité $ x + x^{-1} \geq 2 $ :

SPOILER:

Étudier les variations de $ x \mapsto nx + x^{-n} $ sur $ ]0,\infty[ $ pour tout $ n \geq 1 $ puis en déduire le résultat par récurrence.

Ceci n'a rien d'exhaustif : le problème posé par King est ultra-célèbre et a des tonnes d'applications et de démonstrations.

Bonsoir,

Je me permets :

On note $ \tau(n) $ le nombre de diviseurs d'un entier naturel non nul $ n $.

Soit $ n \in \mathbb{N}^* $.
Montrer que $ \displaystyle \sum_{d|n}\tau(d)^3 = \left(\sum_{d|n}\tau(d)\right)^2 $.

Par contre celle-ci est clairement difficile si on est pas trop habitué...
Pour la notation $ d|n $, ça signifie qu'on somme sur tous les diviseurs positifs de $ n $.
On pourra d'ailleurs remarquer la ressemblance avec la formule très connue sur la somme des cubes des entiers naturels.

Montrer que$ \sum_{k\in\mathbb{N}} \frac{1}{k!} $ est irrationnel à l'aide d'un raisonnement par l'absurde.

Etudier le comportement de la suite $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ définie par:

$ \begin{cases}
& \text{ } u_0 \in \left ] 0,1 \right [\\
& \text{ } \forall n\in \mathbb{N}, \ u_{n+1}=1-\lambda u_n^{2}
\end{cases} $

en fonction du paramètre $ \lambda \in \left ] 0,1 \right ] $

[mathophilie]

Je remonte les exos des dernières pages...

[mathophilie]

De rien , je donne aussi le lien pour nos CG. Sachant que beaucoup d'entre eux (en maths ) sont mal numérisés
http://terminales.examen.sn/index.php?o ... Itemid=510
Tu vas surement trouver les sujets de philo ( et de français pour la Première) très abordables

Merci je vais regarder

Ahah surestimes pas mon niveau tu serais déçu

Amusant, vos sujets de philo sont très lien avec la géopolitique et la géo-économie ! Dans l'un deux, il y a d'ailleurs le terme de mondialisation

[wallissen]

C'est un terme non philosophique ?

De toute façon j'ai l'impression qu'on peut transformer n'importe quelle phrase en un sujet de philo

[bullquies]

Je sens que certains s'ennuient...

Démontrer cette inégalité très utile :

$ \forall a,b $ et $ \forall \epsilon > 0 $, on a $ ab \leq \epsilon a^2 + \frac{b^2}{4\epsilon} $

[symétrie]

Voici un très joli problème sur lequel je suis tombé il y a peu.

Une compagnie ferroviaire russe propose de transporter des colis qui ont la forme de pavés (toujours supposés droits). Une condition toutefois : les colis ne doivent pas être trop gros. La contrainte n'est pas sur le volume, mais sur la somme des dimensions : la somme de la longueur, plus la largeur, plus l'épaisseur ne doit pas dépasser 1 mètre. On se pose la question suivante : étant donné une boîte illégale, est-il possible de l'inclure dans une boîte légale ?

On va montrer que la réponse est non (on peut commencer par tenter de le faire par soi-même pour constater que ça n'est pas évident). Étant donné un pavé $ A $, on note $ V(r) $ le volume de l'ensemble constitué des points P de l'espace tels qu'il existe un point Q de $ A $ avec $ PQ \leq r $. À quoi ressemble l'ensemble des tels points P pour un pavé ? Calculer $ V(r) $ pour un pavé. En déduire la solution au problème.