Exercices de MPSI

[mathophilie]

Je sens que certains s'ennuient...

Démontrer cette inégalité très utile :

$ \forall a,b $ et $ \forall \epsilon > 0 $, on a $ ab \leq \epsilon a^2 + \frac{b^2}{4\epsilon} $

Ah nan nan pas du tout
Pour ma part, j'alterne la résolution des exos encore non résolus, notamment la démo par l'absurde de l'irrationnalité de e, la démo avec les suites adjacentes ayant déjà été faite précédemment ^^

Sinon :

SPOILER:

Il convient de remarquer que, e étant strictement positif, on a : $ \frac{(2ea - b)^2}{4e} > 0 $

D'où en développant $ \frac{4e^2a^2 - 4eab + b^2}{4e} \ge 0 $

Soit $ ea^2 - ab + \frac{b^2}{4e} \ge 0 $

D'où le résultat : $ ab \le ea^2 + \frac{b^2}{4e} $

[mathophilie]

Etudier le comportement de la suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} définie par:

\begin{cases} & \text{ } u_0 \in \left ] 0,1 \right [\\ & \text{ } \forall n\in \mathbb{N}, \ u_{n+1}=1-\lambda u_n^{2} \end{cases}

en fonction du paramètre \lambda \in \left ] 0,1 \right ]

Pour cet exo, étonnament, après test sur des valeurs, il me semble que :

SPOILER:

Pour lambda égal à 1, la suite diverge et pour tout lamba strictement compris entre 0 et 1, la suite converge vers son point fixe qu'on peut trouver en remarquant que $ lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n+1} $ et en résolvant une équation du second degré...

Mais je parviens pas à une démo aboutissant à cette distinction des cas (en supposant qu'elle soit juste ! ).
J'ai essayé de travailler à partir de la "définition" de la convergence donnée en Term : Si une suite converge alors pour a strictement positif aussi petit que l'on veut, il vient pour pour n supérieur à un certain rang : $ L - a < u_n < L + a $ avec L la limite, mais j'aboutis pas...
Quelqu'un aurait-il une indication ?

[bullquies]

bravo tu viens de démontrer une des inégalités de young !
Ca permet donc d'avoir une inégalité qui transforme un produit en somme de carrés, et on peut choisir $ \epsilon $ un peu comme on veut

[mathophilie]

bravo tu viens de démontrer une des inégalités de young !
Ca permet donc d'avoir une inégalité qui transforme un produit en somme de carrés, et on peut choisir $ \epsilon $ un peu comme on veut

Ah connaissais pas
C'est vrai que c'est sympa comme principe, pas besoin d'avoir à passer par les logarithmes pour passer d'un produit à une somme ! ... Même si c'est une somme de carrés et qu'on a une inégalité okok ^^

Merci en tout cas pour cette découverte

[lsjduejd]

Ah nan nan pas du tout
Pour ma part, j'alterne la résolution des exos encore non résolus, notamment la démo par l'absurde de l'irrationnalité de e, la démo avec les suites adjacentes ayant déjà été faite précédemment ^^

Les deux c'est de l'absurde hein ?
Tu veux une indication ou je te laisse chercher ?

[mathophilie]

Ah nan nan pas du tout
Pour ma part, j'alterne la résolution des exos encore non résolus, notamment la démo par l'absurde de l'irrationnalité de e, la démo avec les suites adjacentes ayant déjà été faite précédemment ^^

Les deux c'est de l'absurde hein ?
Tu veux une indication ou je te laisse chercher ?

Oui c'est vrai je veux dire la plus absurde des deux

Ben ca fait une bonne heure et demie que je cherche en comptant le cours de philo ( ), j'ai juste pu aboutir à un encadrement je crois qu'il y a contradiction sur la nature de ce qui est encadré (qui est sensé être un rationnel et qui sans doute ne l'est pas en fait... Fin je sais pas je suppose ^^), donc je veux bien un coup de pouce si cela ne te dérange pas ^^


Ce à quoi j'ai abouti (je le mets en spoiler au cas où d'uatres voudraient continuer à chercher) :

SPOILER:

En partant de la "définition" de e tel que $ e = \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k!} $

Il faut je crois remarquer que, $ e - \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!} > 0 $ (car la somme est croissante et tend vers e)
En suite j'ai essayé de majorer pour justement aboutir à une absurdité sur la nature rationnelle ou non de ce qui va être borné...

Pour cela, il faut remarquer que $ e - \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!} = \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!} $

De plus $ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!} < \frac{1}{n+1}\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)^p} $ (inégalité que l'on obtient en sommant plein d'inégalités à partir de la remarque que $ \frac{1}{n+1} > {1}{(n+m) $ avec m supérieur ou égal à 2 et de la factorisation des factorielle)

Bref on a affaire à une suite géométrique, d'où $ 0 < e - \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!} < \frac{1}{n+1} * \frac{1}{1-\frac{1}{n+1}} $

Soit après bidouillage, $ 0 < e - \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!} < \frac{1}{n! * n} $

Voilà, j'espère que je suis sur la bonne piste

[Siméon]

Je sens que certains s'ennuient...

Démontrer cette inégalité très utile :

$ \forall a,b $ et $ \forall \epsilon > 0 $, on a $ ab \leq \epsilon a^2 + \frac{b^2}{4\epsilon} $

C'est dommage de s'arrêter là ! Soient $ a_1,a_2,\dots,a_n $ et $ b_1,b_2,\dots,b_n $ des réels.

SPOILER:

1) Montrer que pour tout $ t > 0 $, $ \sum_{i=1}^n a_ib_i \leq \frac{t}{2}\sum_{i=1}^n a_i^2 + \frac{1}{2t}\sum_{i=1}^n b_i^2 $.

2) En déduire que $ \sum_{i=1}^n a_ib_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2} $.

[bullquies]

Javou

[lsjduejd]

C'est pas mal du tout ça :

SPOILER:

De plus $ \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!} < \frac{1}{n+1}\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)^p} $ (inégalité que l'on obtient en sommant plein d'inégalités à partir de la remarque que $ \frac{1}{n+1} > \frac{1}{n+m} $ avec m supérieur ou égal à 2 et de la factorisation des factorielle)

Petite indication :

SPOILER:

Suppose $ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=\frac{p}{q} $ avec $ (p,q) $ des entiers naturels non-nuls.
Multiplie cette égalité par $ q! $ et avec ce que t'as déjà tu devrais être pas mal.

[Magnéthorax]

initiation aux maths ?
Pauvre de nous, tout ce qu'on fait jusqu'en terminal est à jeter à la poubelle.

Pas du tout. Mais je pense qu'aujourd'hui en France, il serait plus honnête d'appeler ça : "Outils mathématiques" plutôt que "Mathématiques". Il faut une sacré mauvaise foi pour continuer à dénommer ainsi un enseignement où pratiquement aucun résultat substantiel n'est démontré.. Certains seraient moins surpris après le bac.

Je pense qu'il est cependant possible à ce niveau de démontrer des théorèmes importants en partant de bases admises clairement exposées.