JeanN a écrit :rabhix98 a écrit :corderaide a écrit :<3
Comment je la voyais venir à des kilomètres, ton erreur
(genre inversion à la con de deux indices, ou un truc du genre)
Pire même
Sinon, ça se démontre avec des outils de Terminales ou pas ?
Oui, en commençant par expliquer la méthode du pivot de Gauss pour transformer un système linéaire et son interprétation matricielle...
Le bon point de départ est le suivant :
Je me donne A et B deux matrices carrées de taille n et je suppose que BA=In (matrice identité)
Alors pour toute colonne X (à n lignes...), AX=0 implique BAX=0 donc X=0
Puis tu démontres que la première colonne de A est non nulle car si elle est nulle, A(1,0,...,0)=0 alors que (1,0,...,0) différent de 0
Petite précision : (1,0,....,0) désigne la colonne à n ligne qui contient un 1 suivi de n-1 zéros.
Etant non nulle, cette première colonne de A contient un coefficient non nul qui peut te servir de pivot.
C'est là que je zappe les détails
Tu peux alors trouver une matrice inversible P1 telle que la première colonne de P1*A soit (1,0,...,0)
En fait, on peut présenter ainsi p1*A :
$ P_1\times A=
\left(\begin{array}{cc}
1 & L1 \\
0_{n-1,1} & A1
\end{array} \right ) $
avec A1 une matrice carrée de taille n-1
Reste à vérifier que A1*Y=0 implique Y=0 pour tout colonne Y de taille n-1 pour ensuite recommencer : la première colonne de A1 est non nulle, on peut choisir un pivot, trouver P2 inversible telle que $ P2\times P1\times A=
\left(\begin{array}{cc}
T_2 & L2 \\
0_{n-2,2} & A2
\end{array} \right ) $ avec T2 triangulaire supérieure 2*2 avec des 1 sur la diagonale.
En poursuivant (récurrence ...), on obtient Pn*...*P2*P1*A triangulaire avec des 1 sur la diagonale puis en poursuivant notre méthode de pivot, Qn*...*Q1*Pn*...*P1*A=In (la matrice identité)
La matrice C=Qn*...*Q1*Pn*...*P1 est inversible comme produit de matrices inversibles donc je peux multiplier l'égalité précédente à gauche par l'inverse de C pour obtenir $ A=C^{-1} $ donc A est inversible.
Enfin, l'égalité BA=In donne après multiplication à droite par $ A^{-1} $ : $ B=A^{-1} $
Conclusion : B est l'inverse de A donc A et B commutent.
Ouf...
Bon, à la relecture, je pense que ce texte est essentiellement inintelligible pour un terminale normal mais j'ai la flemme de détailler davantage ou de faire un effort de pédagogie plus important. C'est tout de même tellement plus facile d'expliquer ça devant un tableau...
Enfin, je crois assez fort qu'il n'y a pas de méthode plus simple ne recourant pas à un théorème de dimension finie.
)
) mais il fallait que je montre que l'ordre ( en l’occurrence croissant) est valable pour tous les entiers inférieurs à a.
