Exercices de MPSI

[Pauwl]

Soient n dans N∗, $ a_1, ... a_n, b_1, ... b_n $ des réels. On définit la fonction f par :$ f(x) = \sum_{i=1}^{n}(a_ix + b_i)^2 $Montrer que $ \left | \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \right |\le \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2} $

Je tente voir si ma démarche est bonne.
Juste pour savoir ce probleme est censé être "difficile" ou "facile" pour un terminale ? parce que la j'ai un peu eu du mal à trouver ( et je sais même pas si j'ai bon )

SPOILER:

On remarque tout d'abord que $ f(x)\geqslant 0 $ car on a la somme d'un truc toujours positif ou nul( un carré )

De plus, $ f(-1)= \sum_{i=1}^{n}(-a_i+b_i)^2 $,
$ = \sum_{i=1}^{n} a_i^2-2a_ib_i+b_i^2 $,
$ = \sum_{i=1}^{n} a_i^2+\sum_{i=1}^{n} b_i^2-2\sum_{i=1}^{n} a_ib_i $,
et comme $ f(-1)\geqslant 0 $
$ \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \geqslant 2\sum_{i=1}^{n}a_ib_i-\sum_{i=1}^{n}b_i^2 $ ,
et de même $ \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \geqslant 2\sum_{i=1}^{n}a_ib_i-\sum_{i=1}^{n}a_i^2 $
En multipliant nos 2 inégalités on obtient $ \sum a_i^2 \sum b_i^2 \geqslant 4(\sum a_ib_i)^2-2 \sum a_ib_i \sum a_i^2 $$ -2 \sum a_ib_i \sum b_i^2+ \sum a_i^2 \sum b_i^2 $
Et ainsi $ \sum_{i=1}^{n}a_i^2\sum_{i=1}^{n}b_i^2 +2\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\sum_{i=1}^{n}a_i^2 $$ +2\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\sum_{i=1}^{n}b_i^2 \geqslant 0 $
On fait la même chose pour $ f(1) $ ( inégalités toussa )
En multipliant les inégalités qu'on a trouvé avec f(1) on a $ \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \geqslant $$ 4(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^2+2\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\sum_{i=1}^{n}a_i^2 $$ +2\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\sum_{i=1}^{n}b_i^2+\sum_{i=1}^{n}a_i^2\sum_{i=1}^{n}b_i^2 $

et grâce à ce qu'on a trouvé avant $ \sum_{i=1}^{n}a_i^2\sum_{i=1}^{n}b_i^2 \geqslant 4(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^2 $
Et ainsi $ \sum_{i=1}^{n}a_i^2\sum_{i=1}^{n}b_i^2 \geqslant (\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^2 $
Et comme $ \sum_{i=1}^{n}a_i^2\sum_{i=1}^{n}b_i^2 \geqslant 0 $ et $ (\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^2 \geqslant 0 $
Donc en passant à la fonction racine carré ( strictement croissante sur $ \Re ^+ $ )
On arrive à $ |\sum_{i=1}^{n}a_ib_i| \right |\le \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2} $

C'est un peu long

[Tornado]

Mmh ... Multiplier des inégalités c'est un peu hasardeux ! On a 1> -2 et 1> -3 et pourtant ...
Non pour t'aiguiller, que dire d'un trinome du second degré de signe constant ?

[Pauwl]

Mmh ... Multiplier des inégalités c'est un peu hasardeux ! On a 1> -2 et 1> -3 et pourtant ...
Non pour t'aiguiller, que dire d'un trinome du second degré de signe constant ?

Ah oui je vois merci pour l 'aide du coup c'est plus simple ( mais quand même astucieux ) donc je reprends :

SPOILER:

$ f(x)=\sum_{i=1}^{n} (a_ix+b_i)^2 $
On remarque que $ f(x)\geq0 $ car somme d'un truc toujours positif ou nul ( un carré )
De plus en developpant et en factorisant les x, $ f(x)=x^2\sum_{i=1}^{n} a_i^2+2x\sum_{i=1}^{n} a_ib_i+\sum_{i=1}^{n} b_i^2 $
Comme la fonction f est tout le temps positive ou nulle et que c'est un trinôme du second degré on en déduit que son discriminant est toujours negatif ou nul
Donc $ 4(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^2-4\sum_{i=1}^{n}a_i^2\sum_{i=1}^{n}b_i^2\leq 0 $
On arrive à $ (\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^2\leqslant \sum_{i=1}^{n}a_i^2\sum_{i=1}^{n}b_i^2 $
Et en passant la racine carré ( les deux membres de l'inéquation sont toujours positifs ou nul et la fonction racine carré est strictement croissante sur $ \mathbb{R}^+ $
On arrive à $ \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i+ y_i)^2 }\leq \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}+ \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2} $

Bon j'ai réussi grâce à l'aide de Tornado, la prochaine fois je verrais l'astuce je le jure

[mathophilie]

Mmh ... Multiplier des inégalités c'est un peu hasardeux ! On a 1> -2 et 1> -3 et pourtant ...
Non pour t'aiguiller, que dire d'un trinome du second degré de signe constant ?

Ah oui je vois merci pour l 'aide du coup c'est plus simple ( mais quand même astucieux ) donc je reprends :

SPOILER:

$ f(x)=\sum_{i=1}^{n} (a_ix+b_i)^2 $
On remarque que $ f(x)\geq0 $ car somme d'un truc toujours positif ou nul ( un carré )
De plus en developpant et en factorisant les x, $ f(x)=x^2\sum_{i=1}^{n} a_i^2+2x\sum_{i=1}^{n} a_ib_i+\sum_{i=1}^{n} b_i^2 $
Comme la fonction f est tout le temps positive ou nulle et que c'est un trinôme du second degré on en déduit que son discriminant est toujours negatif ou nul
Donc $ 4(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^2-4\sum_{i=1}^{n}a_i^2\sum_{i=1}^{n}b_i^2\leq 0 $
On arrive à $ (\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^2\leqslant \sum_{i=1}^{n}a_i^2\sum_{i=1}^{n}b_i^2 $
Et en passant la racine carré ( les deux membres de l'inéquation sont toujours positifs ou nul et la fonction racine carré est strictement croissante sur $ \mathbb{R}^+ $
On arrive à $ \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i+ y_i)^2 }\leq \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}+ \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2} $

Bon j'ai réussi grâce à l'aide de Tornado, la prochaine fois je verrais l'astuce je le jure

Ton premier message m'a piqué les yeux, donc je suis direct passée au deuxième
Oui c'est ça !

[Charo]

Pauwl de toute façon c'est pas un exercice "de recherche" très intéressant en terminale je trouve, tu devrais revoir la démo l'année prochaine. Je dirais difficile parce que c'est quand même un peu astucieux.

[Pauwl]

Ton premier message m'a piqué les yeux, donc je suis direct passée au deuxième
Oui c'est ça !

Haha il faut avouer que c'était assez moche ( et long à faire en latex en plus )

Pauwl de toute façon c'est pas un exercice "de recherche" très intéressant en terminale je trouve, tu devrais revoir la démo l'année prochaine. Je dirais difficile parce que c'est quand même un peu astucieux.

Ah ok je me disais bien que c'était évident mais du coup qu'est ce qui fait qu'un exercice de recherche est intéressant en terminale ?

[phibang]

Je trouve pas cet exercice inintéressant. Il est plutôt sympa je trouve. Pour la démarche à adopter pour trouver.

Et c'est là qu'on voit qu'il n'y a pas tellement "d'astuce sortie du chapeau" : ainsi posé il faut se demander ce qu'on peut faire avec la fonction f. Quels sont les outils à notre disposition (pas forcément pour trouver le résultat mais déjà pour savoir ce qu'on peut faire). Ensuite tu regardes le résultat et tu te demandes quelles propriétés te permettent d'établir ce genre de choses (une inégalité ici). Ensuite il faut trouver le lien entre le départ (ta fonction) et ton résultat (l'inégalité) et pour ça, soit tu le vois immédiatement soit tu essaies de modifier un peu la forme de ton résultat et la forme de ta fonction pour établir le lien (ici ta fonction est un trinôme et ton résultat son discriminant).

Voilà pourquoi l'exercice n'est pas forcément difficile. Il n'est pas évident en terminale (difficile si on évalue par rapport au bac) mais pas non plus insurmontable lorsqu'on sait un peu comment chercher.
(après je dis ça mais j'avais cherché un moment lorsque j'avais vu cet exo en terminale)

[mathophilie]

Je trouve pas cet exercice inintéressant. Il est plutôt sympa je trouve. Pour la démarche à adopter pour trouver.

Et c'est là qu'on voit qu'il n'y a pas tellement "d'astuce sortie du chapeau" : ainsi posé il faut se demander ce qu'on peut faire avec la fonction f. Quels sont les outils à notre disposition (pas forcément pour trouver le résultat mais déjà pour savoir ce qu'on peut faire). Ensuite tu regardes le résultat et tu te demandes quelles propriétés te permettent d'établir ce genre de choses (une inégalité ici). Ensuite il faut trouver le lien entre le départ (ta fonction) et ton résultat (l'inégalité) et pour ça, soit tu le vois immédiatement soit tu essaies de modifier un peu la forme de ton résultat et la forme de ta fonction pour établir le lien (ici ta fonction est un trinôme et ton résultat son discriminant).

Voilà pourquoi l'exercice n'est pas forcément difficile. Il n'est pas évident en terminale (difficile si on évalue par rapport au bac) mais pas non plus insurmontable lorsqu'on sait un peu comment chercher.
(après je dis ça mais j'avais cherché un moment lorsque j'avais vu cet exo en terminale)

Je plussoie le tout. L'énoncé que j'avais était tel quel; mais sans la fonction il m'aurait été impossible de trouver je pense. Avec, la première chose qu'on se dit est : whaaaaat pourquoi il me donne une fonction celui-là ?? --> Développement (un vieux réflexe qui sert pour une fois) --> Solution.

Par ailleurs, ce n'est pas le plus intéressant, mais l'inégalité est quand même super utile, et je trouve sa démonstration assez jolie.

Arithmétique, parce que ca fait longtemps :

Montrer qu'il existe une infinité de p premiers tels que $ p\equiv 3 [4] $

Si les taupins ont des exos...

[ladmzjkf]

J'avais posté un exo ça n'a intéressé personne à ce que je vois :

Soit $ f $ une fonction continue et croissante, $ g $ une fonction continue et décroissante sur le même intervalle $ [0,a] $ tel que on ait $ \int_{0}^{a}(f(t)-g(t)) dt=0 $.
Montrer que pour tout $ (x,y)\in [0,a]^2 $ : $ x\int_{0}^{y} g(t) dt \geq y\int_{0}^{x} f(t) dt $

[Galoubet]

Les fonctions continues et le Théorème des valeurs Intermédiaires sont-ils au programme de TS de nos jours ?