Exercices de MPSI

[mathophilie]

L'exo de siméon c'est avec les (nk)² ??

Ouais c'est ce que j'ai posté comme réponse. L'énoncé c'était des suites strictement croissantes et du dénombrement.

Au fait :

Il existe une preuve purement ensembliste de celle-là, je crois.

SPOILER:

Les parties à $ p+1 $ éléments d'un ensemble $ E $ à $ n+1 $ éléments peuvent être construites comme ça :

Je fixe un élément $ x_1 $ quelconque de $ E $, on peut donc former $ \binom{n}{p} $ parties qui vont le contenir parmi les $ n $ éléments restants.
Il va rester $ \binom{n+1}{p+1}-\binom{n}{p} $ parties qui ne contiendront pas $ x_1 $.

Je fixe un autre élément $ x_2 $ quelconque de $ E\setminus\{x_1\} $.
Parmi les $ \binom{n+1}{p+1}-\binom{n}{p} $ parties qui ne contiennent pas $ x_1 $, on peut former $ \binom{n-1}{p} $ parties qui vont contenir $ x_2 $ parmi les $ n-1 $ éléments restants de $ E\setminus\{x_1,x_2\} $.

Il reste alors $ \binom{n+1}{p+1}-\binom{n}{p}-\binom{n-1}{p} $ parties qui ne contiendront ni $ x_1 $, ni $ x_2 $.
On fait ainsi de suite jusqu'à énumérer tout $ E $.

On a alors : $ \binom{0}{p} + \binom{1}{p} + \binom{p+1}{p} + ... + \binom{n}{p} = \binom{n+1}{p+1} $ puis on enlève les $ p $ premiers termes qui sont nuls.

Merci beaucoup pour le partage ! C'est vraiment super joli comme preuve J'ai aussi fait une récurrence, c'est moins swag...

[ladmzjkf]

Déterminer le nombre de p-uplets d'entiers naturels solutions de l'équation
$ a_1 + a_2 + ... + a_p = N $ où N est un entier naturel donné.

Une tentative :

SPOILER:

-Si $ N=0 $, on a qu'un seul p-uplet.

-Sinon, en considérant un segment de longueur $ N $ , $ [P_0,P_N] $, on voit aisément que trouver un solution revient à choisir $ p-1 $ points parmi $ P_{1},P_{2}...P_{N-1} $ sachant que les points $ P_0 $ et $ P_N $ sont pris d'office.
Il y'a donc $ \binom{N-1}{p-1} $ solutions.

Si vous avez des exos sympas d'analyse ( de type : '' soit une fonction/suite qui a des propriétés machin, montrer qu'on a propriétés machin'') à partager, ne vous retenez-pas, l'arithmétique et le dénombrement ne m'inspirent pas vraiment

[mathophilie]

Déterminer le nombre de p-uplets d'entiers naturels solutions de l'équation
$ a_1 + a_2 + ... + a_p = N $ où N est un entier naturel donné.

Une tentative :

SPOILER:

-Si $ N=0 $, on a qu'un seul p-uplet.

-Sinon, en considérant un segment de longueur $ n $ , $ [P_0,P_n] $, on voit aisément que trouver un solution revient à choisir $ p-1 $ points parmi $ P_{1},P_{2}...P_{n-1} $ sachant que les points $ P_0 $ et $ P_n $ sont pris d'office.
Il y'a donc $ \binom{n-1}{p-1} $ solutions.

Si vous avez des exos sympas d'analyse ( de type soit une fonction/suite qui a des propriétés machin, montrer qu'on a propriétés machin) à partager, ne vous retenez-pas, l'arithmétique et le dénombrement ne m'inspirent pas vraiment

Je ne crois pas que ce soit juste.
Un contre exemple : En posant p = 2, on voit qu'il y a $ N+1 $ couples solutions...

[Luckyos]

Un autre (un peu moins facile ?)

1) Soit $ n $ et $ p $ deux entiers naturels $ (p \leq n) $, montrer que l'on a :

$ \binom{p}{p} + \binom{p+1}{p} + ... + \binom{n}{p} = \binom{n+1}{p+1} $

2) Soit $ n $ et $ r $ deux entiers naturels $ (1 \leq r \leq n $) . On forme tous les sous-ensembles à $ r $ éléments de l'ensemble $ \left \{ 1, 2, ..., n \right \} $ et l'on considère pour chacun de ces sous-ensembles, son plus petit élément.
On appelle $ f(n,r) $ la moyenne arithmétique de tous les membres ainsi obtenues.

Montrer que $ f(n, r) = \frac{n+1}{r+1} $

Ah lui il était plus dur que les autres et très intéressant je trouve, avec un peu de calculs aussi. Si j'ai le courage je posterai ma solution mais pour l'instant j'ai la flemme de me farcir des sommes en Latex

[Luckyos]

Eh les taupins je me demandais, est-ce que le dénombrement est beaucoup présent en prépa (MPSI) ?

[Monsterkuru]

Je ne peux parler que de mon cas. On en fait un peu en début d'année. Mais non, ce n'est pas vraiment ce qu'on fait.

[spemaths]

Un classique.
Montrer que la suite de terme général

cos(n)

diverge
Indice dans les prochains posts.

[lsjduejd]

Je ne crois pas que ce soit juste.
Un contre exemple : En posant p = 2, on voit qu'il y a $ N+1 $ couples solutions...

Effectivement, il oublie dans sa preuve qu'on peut prendre plusieurs fois le même point (un entier naturel peut être nul), mais l'idée est pas mal, faut juste...

[mathophilie]

Un classique.
Montrer que la suite de terme général

cos(n)

diverge
Indice dans les prochains posts.

Une proposition :

SPOILER:

On sait que $ cos(\pi+ 2k\pi )= -1 $. Donc il n'existe pas d'entier p tel que pour tout e strictement positif, et pour tout n>p, (edit) $ abs(u_n-1) \le e $. D'où $ u_n $ ne converge pas vers 1.

On suppose maintenant que $ u_n $ admet une limite finie notée $ l $.
Or $ cos(2n) = 1 - 2cos^2(n) $. (1)
Ce qui suppose, comme $ u_{2n} $ et $ u_n $ admettent la même limite, que : $ l=1-2l^2 $. Equation du second degré dont les solutions sont $ l_1 = 1 $ et $ l_2 = -\frac{1}{2} $.

De plus, en utilisant (1) et la formule d'addition : $ cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) $, en sachant que $ sin(2n) = 2sin(n)cos(n) $, il vient : $ cos(3n) = -3cos(n) + 4cos^3(n) $.
D'où $ l=-3l+4l^3 $, d'où $ 4l(l^2-1) = 0 $. Donc $ l=0 $ ou $ l=1 $ ou $ l=-1 $.

La seule limite commune aux deux égalités est $ l=1 $, ce qui est en contradiction avec la remarque initiale.
Donc $ u_n = cos(n) $ diverge.

[lsjduejd]

D'où elle sort la remarque initiale ? Elle demande des éclaircissements.