Exercices de MPSI

[Syl20]

Je croyais que magnethorax abhorrait le HP...

[ladmzjkf]

Mais les exos à plusieurs questions, ça il aimait ...

SPOILER:

Même si je ne veux pas croire que kakille = Magnéthorax

[Syl20]

Déterminer les fonctions $ f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} $ telle que pour tout $ z \in \mathbb{C}, f(z)+if(\overline{z}) = 2i $

Cet exercice n'a pas été résolu il me semble.

SPOILER:

Même si je ne veux pas croire que kakille = Magnéthorax

+1

[mathophilie]

Déterminer les fonctions $ f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} $ telle que pour tout $ z \in \mathbb{C}, f(z)+if(\overline{z}) = 2i $

Cet exercice n'a pas été résolu il me semble.

Maintenant si

SPOILER:

Par hypothèse, pour tout $ z \in \mathbb{C}, f(z) + if(\overline{z}) = 2i $, d'où pour tout $ z \in \mathbb{C}, f(\overline{z}) + if(z) = 2i $.
En sommant les deux égalités, il vient : $ f(z) + if(\overline{z}) = f(\overline{z}) + if(z) $, soit $ f(z) - f(\overline{z}) = i(f(z) - f(\overline{z}) $, d'où $ f(z) = f(\overline{z}) $. (EDIT )Par ailleurs, $ f(z) + if(z) = 2i $, donc f constante telle que $ f(z) = a+ib $ (a et b réels). Vient alors $ a+ib + ia - b = 2i $, soit $ a-b = 0 $ et $ a+b=2 $ par identification des parties réelles et imaginaires. Donc $ a=b=1 $
D'où pour tout $ z \in \mathbb{C}, f(z)=1+i $

Ca manque d'analyse et d'arithmétique par ici

[darklol]

SPOILER:

Par hypothèse, pour tout $ z \in \mathbb{C}, f(z) + if(\overline{z}) = 2i $, d'où pour tout $ z \in \mathbb{C}, f(\overline{z}) + if(z) = 2i $.
En sommant les deux égalités, il vient : $ f(z) + if(\overline{z}) = f(\overline{z}) + if(z) $, soit $ f(z) - f(\overline{z}) = i(f(z) - f(\overline{z}) $, d'où $ f(z) = f(\overline{z}) $. On en déduit donc que f est une fonction complexe constante telle que $ f(z) = a+ib $ (a et b réels). Par ailleurs, $ f(z) + if(z) = 2i $, donc $ a+ib + ia - b = 2i $, soit $ a-b = 0 $ et $ a+b=2 $ par identification des parties réelles et imaginaires. Donc $ a=b=1 $
D'où pour tout $ z \in \mathbb{C}, f(z)=1+i $

Je comprends pas un de tes arguments, la fonction $ f: z \longmapsto Re(z) $ vérifie $ f(z) = f(\bar{z}) $ mais elle n'est pas constante.

[mathophilie]

SPOILER:

Par hypothèse, pour tout $ z \in \mathbb{C}, f(z) + if(\overline{z}) = 2i $, d'où pour tout $ z \in \mathbb{C}, f(\overline{z}) + if(z) = 2i $.
En sommant les deux égalités, il vient : $ f(z) + if(\overline{z}) = f(\overline{z}) + if(z) $, soit $ f(z) - f(\overline{z}) = i(f(z) - f(\overline{z}) $, d'où $ f(z) = f(\overline{z}) $. On en déduit donc que f est une fonction complexe constante telle que $ f(z) = a+ib $ (a et b réels). Par ailleurs, $ f(z) + if(z) = 2i $, donc $ a+ib + ia - b = 2i $, soit $ a-b = 0 $ et $ a+b=2 $ par identification des parties réelles et imaginaires. Donc $ a=b=1 $
D'où pour tout $ z \in \mathbb{C}, f(z)=1+i $

Je comprends pas un de tes arguments, la fonction $ f: z \longmapsto Re(z) $ vérifie $ f(z) = f(\bar{z}) $ mais elle n'est pas constante.

C'est vrai... Je me suis précipitée parce que j'ai le sentiment qu'elle est constante cette application... Shame.
Du coup passer direct à l'argument f(z) +if(z) = 2i suffit pour dire qu'elle est constante et déterminer sa forme ?

[darklol]

Oui voilà c'est la vraie raison (et c'est plus direct comme tu le fais remarquer).

[mathophilie]

Oui voilà c'est la vraie raison (et c'est plus direct comme tu le fais remarquer).

Ok désolée, je pensais qu'il fallait que je le précise avant, une réminiscence des fonctions à valeurs réelles ? J'ai édit le passage frauduleux

[Syl20]

Ca manque d'arithmétique par ici

J'avais posté ça sur l'autre topic :

Deux joueurs A et B jouent avec des jetons verts et bleus de valeurs respectives 11 et 7.
A donne une somme (entière) d'argent N à B. (B peut rendre la monnaie : par exemple, pour donner 1, A donne 2 jetons verts et B rend 3 jetons bleus).
On note E l'ensemble des nombres qui permettent une transaction directe (sans rendre d'argent).
1) Montrer que la propriété $ P_n : \forall N \geq n, N \in E $ est vraie pour n=77. En déduire l'ensemble des entiers la vérifiant.
2) Etablir une méthode permettant de déterminer le nombre minimal de jetons employés dans la transaction.

[phibang]

Du coup passer direct à l'argument f(z) +if(z) = 2i suffit pour dire qu'elle est constante et déterminer sa forme ?

Oui. Tu factorises par f(z) et tu trouves l'expression ensuite.