Exercices de MPSI

[Dratui]

J'ai l'impression que c'est pas pour rien que c'est une question d'ENS

[Monsterkuru]

Pas sympa de balancer Davenport-Cassels ici, un conseil, ne cherchez pas trop ce n'est pas vraiment accessible à votre niveau ( même si on peut le faire avec des outils de TS ... )

[Syl20]

Pas sympa de balancer Davenport-Cassels ici, un conseil, ne cherchez pas trop ce n'est pas vraiment accessible à votre niveau ( même si on peut le faire avec des outils de TS ... )

En même temps il y a des gens très très forts ici (je ne m'inclus pas dedans)

[Dratui]

Ce qui me désespère, c'est que mathophilie va le faire tranquillement xD

J'avais eu pour idée au départ de faire un lien avec le théorème de Pythagore, mais c'est tendu :/

[Monsterkuru]

Tu ne sais vraisemblablement pas ce qu'est être très très fort en maths ^^
Non sérieusement, il y a une plus grosse différence entre ce que vous faîtes d'habitude sur ce topic ( des petits exos sympas ) et l'exercice en question qu'entre un exercice de 6ème et un exercice de sup typique.
( je l'ai eu en colle ... ).

[Dratui]

Ah, tendu quand-même x)

[Syl20]

Je reposte étant donné que personne ne l'a fait :

Montrer que $ (E):x^{2}+y^{2}=3 $ n'a pas de solution dans Q

J'ai cru que j'avais déjà posté une résolution, mais faut croire que non.
Brièvement :

SPOILER:

On fixe y dans Q, c'est à dire : $ \exists (p;q) \in \mathbb{Z}^2, PGCD(p;q)=1 / $ $ y=\frac{p}{q} $. Vient alors : $ x^2 = 3-\frac{p^2}{q^2} $, soit $ x=\frac{\sqrt{3q^2-p^2}}{q} $. Si x est aussi dans Q, alors le numérateur (noté $ n $) est un entier. [EDIT (précision spécial Syl20) : On note $ d'=PGCD(\sqrt{3q^2-p^2};q). $alors d$ '^2 = PGCD(3q^2-p^2;q^2) = PGCD(p^2;q^2)=1 $, d'où $ d'=1 $], donc n premier avec q. De plus une racine est soit entière (carré parfait) soit irrationnelle. Il vient donc : $ 3q^2=p^2 + n^2 $, n étant premier avec q et p étant premier avec q. On note $ d=PGCD(p;n) $, alors d divise $ 3q^2 $ (d divisant toute combinaison linéaire de p et n). Il serait absurde que d divise $ q^2 $, puisque n et p sont tous les deux premiers avec q. On en déduit que d divise $ 3 $, d'où $ d=3 $. En notant $ p=d*u $ et $ q=d*v $; avec $ PGCD(u;v)=1 $, il vient par simplification : $ q^2=3u^2 + 3v^2 $, soit $ q^2=3(u^2+v^2) $. Donc q^2 est divisible par $ PGCD(p;n)=3 $ : Absurde comme dit précédemment (p et n premiers avec q). Donc, x n'appartient pas à Q, d'où le résultat.

@Syl20 : Pas besoin de lemmes...

@Hunted : En général, les couples solutions, mais c'est vrai qu'il a pas précisé dans son énoncé.

Un dernier truc : quand tu exprimes x en fonction de p et q, tu ne parles pas de la possibilité de x négatif (-sqrt(x²)). Ça change absolument rien au résultat mais bon voilà

Tu ne sais vraisemblablement pas ce qu'est être très très fort en maths ^^
Non sérieusement, il y a une plus grosse différence entre ce que vous faîtes d'habitude sur ce topic ( des petits exos sympas ) et l'exercice en question qu'entre un exercice de 6ème et un exercice de sup typique.
( je l'ai eu en colle ... ).

Ok je te crois, tu dois toi même être très très fort en maths

[mathophilie]

Je remonte :

Voici un exo sympa posté il y a longtemps par ladmj... :

Soit f une fonction continue et croissante, g une fonction continue et décroissante sur le même intervalle $ [0,a] $ tel que on ait $ \int_{0}^{a}(f(t)-g(t) dt=0. $
Montrer que pour tout $ (x,y)\in [0,a]^2 $ : $ x\int_{0}^{y} g(t) dt \geq y\int_{0}^{x} f(t) dt $

Quelqu'un m'a envoyé un message pensant qu'il y a une erreur d'inégalité, ce qui est possible (ladm... perdrait mon respect je rigole). Mais personnelement, je suis arrivée à démontrer le résultat de l'énoncé donné tel quel. J'ai pu me planter.
Donc si certains veulent si essayer pour vérifier qu'il n'y a pas d'erreurs d'énoncé...

Un dernier truc : quand tu exprimes x en fonction de p et q, tu ne parles pas de la possibilité de x négatif (-sqrt(x²)). Ça change absolument rien au résultat mais bon voilà

El pinailleur !

[CendreWapiti]

Un petit exo très facile à faire en terminale, mais je trouve la méthode tellement puissante...

Soit $ f $ une fonction continue de $ \mathbb{R} $ dans $ \mathbb{R} $ et $ (a,b) \in \mathbb{R}^2 $ avec $ a < b $

- Trouver la valeur de $ \alpha \in \mathbb{R} $ qui minimise $ \displaystyle I = \int_a^b(f(x)-\alpha)^2\text{d}x $ et interpréter le résultat.

[samsong]

Un petit exo très facile à faire en terminale, mais je trouve la méthode tellement puissante...

Soit $ f $ une fonction continue de $ \mathbb{R} $ dans $ \mathbb{R} $ et $ (a,b) \in \mathbb{R}^2 $ avec $ a < b $

- Trouver la valeur de $ \alpha \in \mathbb{R} $ qui minimise $ \displaystyle I = \int_a^b(f(x)-\alpha)^2\text{d}x $ et interpréter le résultat.

Je vois une méthode utilisant la projection sur l'espace des fonctions constantes.
Est-ce que t'as une autre méthode?