Exercices de MPSI

[kakille]

Bonsoir,

[583.1]

on fixe un repère dans l'espace. Donnez-vous deux droites de l'espace qui ne sont pas parallèles. L'une s'appelle $ d_1 $ et l'autre $ d_2 $.

1. Démontrez qu'il existe une unique droite simultanément perpendiculaire à $ d_1 $ et $ d_2 $. On note $ P_1 $ (respectivement $ P_2 $) le point d'intersection de cette droite avec $ d_1 $ (respectivement $ d_2 $). Précisez leurs coordonnées.

2. Démontrez que la distance $ Q_1 Q_2 $ où $ Q_1 $ est un point de $ d_1 $ et $ Q_2 $ est un point de $ d_2 $ est minimale lorsque $ Q_1=P_1 $ et $ Q_2=P_2 $.

[Oka]

pour la 1 il faut supposer que les droite se coupent pas non ?

[kakille]

Ma formulation n'est peut-être pas claire, mais si deux droites sont concourantes, je n'en vois qu'une troisième qui leur est simultanément perpendiculaire.

[Oka]

il est vrai
c'est juste que la notation de droite sous forme de couple de point a un sens que si les deux points sont distincts

en fait tu pourrais dire : "montrer que il existe une unique droite simultanement perpendiculaire. On note $ P1 $ et $ P2 $ les points d'intersection de cette droite avec $ d1 $ et $ d2 $ "

[kakille]

il est vrai, t'as gagné

[Oka]

voyons toi tu crées un énoncé alors que je corrige juste une coquille, c'est toi qui gagne

[kakille]

Je suis parti de (E).
J'ai peu la flemme de vous taper la ce que j'ai fait mais en gros j'ai fait une suite de fonctions !

dommage de ne pas partager

[Syl20]

Bonsoir,

on fixe un repère dans l'espace. Donnez-vous deux droites de l'espace qui ne sont pas parallèles. L'une s'appelle $ d_1 $ et l'autre $ d_2 $.

1. Démontrez qu'il existe une unique droite simultanément perpendiculaire à $ d_1 $ et $ d_2 $. On note $ P_1 $ (respectivement $ P_2 $) le point d'intersection de cette droite avec $ d_1 $ (respectivement $ d_2 $). Précisez leurs coordonnées.

2. Démontrez que la distance $ Q_1 Q_2 $ où $ Q_1 $ est un point de $ d_1 $ et $ Q_2 $ est un point de $ d_2 $ est minimale lorsque $ Q_1=P_1 $ et $ Q_2=P_2 $.

Cool, de la géométrie
Quelques éléments de réponses (j'ai la flemme de détailler les coordonnées de P1 et P2, c'est long et moche) :

SPOILER:

Premier cas : les droites sont sécantes en un point
La droite orthogonale au plan (P) formé par d1 et d2 et passant par leur point d'intersection Q est perpendiculaire aux deux droites. Il ne peut y avoir d'autre droite comme cela, car sinon pour couper les deux droites elles serait dans le plan et ne serait donc pas perpendiculaire à deux droites sécantes. $ Q_1 Q_2 $ est minimale (et nulle) pour $ Q_1=Q_2=Q $
Deuxième cas : 1. les deux droites ne sont pas sécantes. Soit (P) le plan orthogonal à $ d_1 $ contenant $ d_2 $. On appelle $ P_1 $ le point d'intersection de $ d_1 $ et de (P). La droite $ \delta $ passant par $ P_1 $ et perpendiculaire à $ d_1 $ est bien perpendiculaire aux deux droites. Il n'existe qu'une droite de telle sorte (s'il en existait plus, alors $ d_1 $ et $ d_2 $ seraient parallèles).
2. On fixe un point $ Q_1 $ sur $ d_1 $. En se plaçant dans le plan formé par $ Q_1 $ et $ d_2 $, on voit que $ Q_1Q_2 $ est minimale quand $ (Q_1Q_2) \perp d_2 $.
De même, En fixant $ Q_2 $, $ Q_1Q_2 $ est minimale quand $ (Q_1Q_2) \perp d_1 $.
La longueur $ Q_1Q_2 $ est donc minimale quand $ (Q_1Q_2)=(P_1P_2) $.

[donnerwetter]

Deux exos sympas trouvés sur exo7 :

Montrer que $ \log 2 $ est irrationnel.

1/Montrer que, pour tout entier naturel $ n $ : $ e = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + \int_{0}^{1} \frac{(1-t)^n}{n!} e^t dt $ (sans formule de Taylor).
2/ Montrer que, pour tout entier naturel $ n $ : $ 0 < e - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} < \frac{3}{(n+1)!} $.
3/ En déduire que $ e $ est irrationnel.

On rappelle la formule de l'intégration par parties : si $ u $ et $ v $ sont définies, dérivables et de dérivées continues sur un intervalle $ [a;b] $, alors $ \int_{a}^{b} u'v = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} uv' $.

[JeanN]

Pourquoi ne pas poster le deuxième sur le topic mpsi ?