Exercices de MPSI

[Syl20]

• Triangle médian du triangle orthique. Cercle de Taylor.
  
  1ère partie : triangle médian du triangle orthique :
  
  On considère un triangle $ ABC $ supposé non rectangle.
  Soit $ I $, $ J $, $ K $ les pieds des hauteurs du triangle $ ABC $, issues respectivement de $ A $, $ B $, $ C $.
  Soit $ M $ et $ N $ les projetés orthogonaux respectifs de I sur $ (AC) $ et $ (AB) $.
  On note $ I_1=S_{AB}(I) $ et $ I_2=S_{AC}(I) $.
  1. Démontrer que :
  a) $ (MN)//(I_1I_2) $.
  b) Les points $ I $, $ K $, $ J $,$ I_2 $ sont alignés.
  c) La droite $ (MN) $ contient les milieux respectifs $ J' $, $ K' $ de $ (I,K) $ et $ (I,J) $.
  
  (Pour les notations je ne pense pas qu'il y ait de problèmes mais sait-on jamais : ($ (A,B) $ : Couple de points, appelé bipoint, dont $ A $ est l'origine et $ B $ l’extrémité. $ S_{AB} $ : Symétrie orthogonale par rapport à la droite $ (AB) $).

SPOILER:

1.a)$ M $ et $ N $ sont les projetés orthogonaux de I sur $ (AC) $ et $ (AB) $ et $ I_1=S_{AB}(I) $ et $ I_2=S_{AC}(I) $, les points M et N sont donc les milieux respectifs des segments $ [II_2] $et$ [I;I_1] $ donc d'après le théorème de la droite des milieux: $ (MN)//(I_1I_2) $
1.b) not a clue
1.c) $ (MN)//(I_1I_2) $ et les points $ I $, $ K $, $ J $,$ I_2 $ sont alignés donc $ (MN)//(I_2J) $. De plus le point M est le milieu de $ [II_2] $ donc d'après le réciproque du théorème des milieux dans le triangle$ IJI_2 $, la droite $ (MN) $ passe par le milieu $ K' $ de $ (IJ) $.
De même on montre que le point $ J' $ appartient à $ (MN) $

Mmm... Il doit y avoir une erreur dans l'énoncé, à la question b, c'est $ I_1 $, $ K $, $ J $,$ I_2 $ qui sont alignés (et pas I)

[Mykadeau]

Exact, j'ai recopié bêtement.

[Syl20]

Exact, j'ai recopié bêtement.

Et fait un magnifique schéma ?

[Mykadeau]

Exact, j'ai recopié bêtement.

Et fait un magnifique schéma ?

Geogebra
Mais j'avais bien compris que c'était $ I\1 $, j'ai juste recopié de l’énoncé pour aller plus vite en latex

[SigmaPi]

Un nombre palindrome est un nombre qui se lit indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche.
Ex : 8199918 ; 272
Question : Combien y'a t-il de palindromes à 351 chiffres ? Quelle est la plus petite différence entre deux parmi eux ?
Credit to Cedric Villani

[donnerwetter]

Un nombre palindrome est un nombre qui se lit indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche.
Ex : 8199918 ; 272
Question : Combien y'a t-il de palindromes à 351 chiffres ? Quelle est la plus petite différence entre deux parmi eux ?
Credit to Cedric Villani

Un essai (il est tard, il y a peut-être plus court pour la justification de la différence minimale...) :

SPOILER:

Il y a 9 possibilités pour le couple (1er;dernier) chiffre, 10 pour le couple (2e; avant-dernier), 10 pour (3e; antépénultième)... soit $ 9*10^{175} $ palindromes possibles.

La plus petite différence est de 11 : par exemple entre 199...991 et 200...002.
Dans le raisonnement par l'absurde qui suit on procède par addition d'un nombre à un nombre original pour obtenir un nombre modifié dont la différence avec le premier constitue la plus petite différence cherchée.
Si la plus petite différence était de 10, les dernier et premier chiffres ne changeraient pas mais les deuxième et avant-dernier si, donc seul le 2e chiffre (en partant de la gauche) qui est nécessairement entre 0 et 8 changerait et la différence serait de l'ordre 10^349 ce qui est absurde ; si la différence était de 9 ou moins, alors : soit le chiffre des unités ou dizaines ou des centaines ou des milliers ou... ou le 175e chiffre en partant de la droite changent mais pas le 176e : les chiffres à gauche du 176e changent donc aussi mais dans l'addition, la retenue n'est pas transmise au 176e chiffre - il y a donc un problème ; soit le 176e chiffre change, tous les chiffres sauf le premier et le dernier étaient donc des 9, mais comme le chiffre des unités baisse le 1er chiffre baisse aussi donc on obtient un nombre plus petit que le nombre de départ après addition, ce qui est absurde également.

[SigmaPi]

SPOILER:

Je crois qu'il manque un truc important à ton raisonnement pour arriver à ton premier résultat Car 9 pour le premier couple, il ne reste pas 175 couples mais bien 174 donc 10^174 ?

[donnerwetter]

SPOILER:

Je crois qu'il manque un truc important à ton raisonnement pour arriver à ton premier résultat Car 9 pour le premier couple, il ne reste pas 175 couples mais bien 174 donc 10^174 ?

Tu as oublié de compter le chiffre du milieu. On arrive donc bien à 9 10^175

[Tornado]

Un exo de combinatoire :

Soit $ E $ un ensemble fini à $ n $ éléments. Soient $ A_1, ... , A_p $ des parties de $ E $ telles que pour $ 1 \leq i \neq j \leq n $ on ait $ A_i \neq A_j $ et $ A_i \cap A_j \neq \emptyset $. Montrer que dans ces conditions, $ p \leq 2^{n-1} $ et montrer que cette borne peut être atteinte.

[Jio15]

SPOILER:

Si on prend les $ (A_i) $ et les $ (E-A_i) $, on obtient $ 2p $ parties deux à deux distinctes de $ E $ (elles sont distinctes car si $ A_i=E-A_j $ alors $ A_i \cap A_j = \emptyset $ ce qui contredit l'hypothèse). Cela n'est possible que si $ 2p \leq |P(E)| = 2^n $ donc $ p \leq 2^{n-1} $.
Maintenant, prenons un élément $ a \in E $ quelconque et prenons pour les $ (A_i) $ l'ensemble des parties de $ E $ contenant $ a $. Cette suite vérifie toutes les conditions et contient $ 2^{n-1} $ éléments donc la borne est atteinte.