Exercices de MPSI

[Jio15]

Ah oui, ça c'est bien vu, merci

[Syl20]

Si vous avez des exos sympas, n'hésitez pas

[Jio15]

J'ai découvert celui-ci grâce à un concours organisé dans mon lycée : On appelle entier un rectangle (ayant ses côtés parallèles aux axes) dont au moins un côté est entier. Montrer que si un rectangle se décompose en rectangles entiers, alors il est entier.

Nous l'avions résolu avec de l'analyse de spé, mais j'en ai trouvé des preuves géométriques élémentaires sur Internet depuis (assez créatives mais accessibles à un collégien).

Je mets en spoiler la solution analytique (qui m'a permis de remporter une clé USB ) :

SPOILER:

Il s'agit de calculer l'intégrale sur tous les points $ (x,y) $ d'un rectangle de $ e^{2 i \pi (x+y)} dx dy $. En fubinisant, on voit que c'est nul si et seulement si le rectangle est entier.
Si un gros rectangle se décompose en petits rectangles entiers, alors l'intégrale sur le gros rectangle est la somme des intégrales sur les petits donc elle vaut $ 0+...+0=0 $, donc le gros rectangle est entier.

Voici un papier détaillant des preuves alternatives.

Sinon, en voilà un plutôt classique (qui s'est retrouvé dans un de nos DS d'informatique au cours de l'année, mais c'est bel et bien des maths) :
Soit $ (u_n) $ une suite positive telle que $ \forall n, \forall m, u_{n+m} \leq u_n + u_m $. Montrer que $ \frac{u_n}{n} $ converge.

EDIT : Puisque tu es visiblement en Terminale, tu as sûrement besoin d'aide (ne serait-ce que d'une vraie définition de la limite), je te donne quelques résultats ici :

• $ \frac{u_n}{n} $ est une suite positive, elle admet donc une borne inférieure $ l $, c'est-à-dire un réel positif tel que $ \forall n, \frac{u_n}{n} \geq l $ et $ \forall \epsilon >0, \exists n, \frac{u_n}{n} \leq (l+\epsilon) $.
• Tu es tenté de montrer que $ \frac{u_n}{n} \rightarrow l $, c'est-à-dire $ \forall \epsilon >0, \exists n_0, \forall n \geq n_0, \frac{u_n}{n} \leq (l+\epsilon) $. Pour ça, pense à utiliser la propriété précédente et la division euclidienne (avec une récurrence bien sentie). N'oublie pas que cette longue propriété est la définition d'une limite, donc si tu as appris en Terminale qu'une certaine suite tend vers $ 0 $ par exemple, tu peux l'utiliser.

EDIT2 : Tout bien réfléchi, ça n'est pas très intéressant pour un Terminale. Amuse toi plutôt avec le problème suivant :
1) Soit u et v deux fonctions C1. De la formule (uv)' = u'v + uv', déduire un moyen d'exprimer $ \int_a^b uv' $ en fonction de $ uv $ et de $ \int_a^b u'v $.
2) Soit $ W_n=\int_0^{\pi/2} sin^n(x) dx $. Montrer que $ W_n $ est strictement décroissante et donc convergente, puis exprimer $ W_{n+2} $ en fonction de $ W_n $ grâce à la formule précédente.
3) Calculer $ W_0 $ et $ W_1 $. En déduire l'expression de $ W_n $ pour tout n, en notant $ n!=1 \times 2 \times ... \times n $ et en faisant des remarques du type : $ 2^n \times n! = 2 \times 4 \times ... \times (2n) = \frac{(2n)!}{1 \times 3 \times ... \times (2n-1)} $
4) On admet qu'il existe une constante $ C $ telle que $ \frac{n! e^n}{\sqrt{n} n^n} \rightarrow C $. En exprimant la limite de $ W_n $ de deux manières différentes, calculer $ C $.

C'est bien du niveau d'un DM entier de terminale, donc prends ton temps et savoure la beauté des résultats démontrés.

[Syl20]

J'ai découvert celui-ci grâce à un concours organisé dans mon lycée : On appelle entier un rectangle (ayant ses côtés parallèles aux axes) dont au moins un côté est entier. Montrer que si un rectangle se décompose en rectangles entiers, alors il est entier.

Nous l'avions résolu avec de l'analyse de spé, mais j'en ai trouvé des preuves géométriques élémentaires sur Internet depuis (assez créatives mais accessibles à un collégien).

Je mets en spoiler la solution analytique :

SPOILER:

Il s'agit de calculer l'intégrale sur tous les points $ (x,y) $ d'un rectangle de $ e^{2 i \pi (x+y)} dx dy $. En fubinisant, on voit que c'est nul si et seulement si le rectangle est entier.
Si un gros rectangle se décompose en petits rectangles entiers, alors l'intégrale sur le gros rectangle est la somme des intégrales sur les petits donc elle vaut $ 0+...+0=0 $, donc le gros rectangle est entier.

Voici un papier détaillant des preuves alternatives.

Comme ça j'ai une solution par contraposée :

SPOILER:

On appelle "ligne" (resp colonne) de décomposition une zone horizontale (resp verticale) dont les rectangles ne couvrent toute la largeur (je vais rajouter un schéma si j'y arrive )
Supposons qu'on ait un rectangle non entier. Cela signifie qu'il y a au moins une colonne de largeur non entière. Or, comme cette colonne a la longueur d'un côté du rectangle, cette colonne contient donc un rectangle dont aucun des deux côtés n'est entier. On ne peut donc pas décomposer un rectangle non entier en rectangles entiers. On montre alors la propriété voulue par contraposée.

[Luckyos]

Un exo d'arithmétique pas très dur :

Montrer que pour tout entier naturel non nul $ n $ et pour tout couple d'entiers relatifs $ (a;b) $ : si $ a\equiv b [n] $ alors $ a^{n} \equiv b^{n}[n^{2}] $

[Jio15]

Un exo d'arithmétique pas très dur :

Montrer que pour tout entier naturel non nul $ n $ et pour tout couple d'entiers relatifs $ (a;b) $ : si $ a\equiv b [n] $ alors $ a^{n} \equiv b^{n}[n^{2}] $

SPOILER:

$ a^n-b^n = (a-b)(\sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}) $
Or $ n \mid a-b $ et $ \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k} \equiv \sum_{k=0}^{n-1} b^{n-1} \equiv n \times b^{n-1} \equiv 0 [mod.n] $ donc $ n^2 \mid a^n-b^n $ d'où $ a^n \equiv b^n [mod.n^2] $

(Pourquoi mon LaTeX rend si moche ???)

[Gréco-bactrien]

Caractériser les situations d'égalité de :
$ |(a-c)(b-d)|\le |(a-b)(c-d)|+|(a-d)(b-c)| $ avec $ a,b,c,d $ complexes.

(cette fois il n'y a pas d'erreur dans l'énoncé )

[Tornado]

Sinon, en voilà un plutôt classique (qui s'est retrouvé dans un de nos DS d'informatique au cours de l'année, mais c'est bel et bien des maths) :
Soit $ (u_n) $ une suite positive telle que $ \forall n, \forall m, u_{n+m} \leq u_n + u_m $. Montrer que $ \frac{u_n}{n} $ converge.

Ca c'est pas facile facile pour des TS, donc laissez tomber si vous y arrivez pas (c'est un classique de sup, vous le verrez sans doute ce lemme sous-additif). J'ai vu une très belle application de ce résultat récemment dans une conférence

[Jio15]

SPOILER:

C'est quand arg(a-b)+arg(c-d)=arg(a-d)+arg(b-c) [2pi], et ça ça doit se caractériser géométriquement non ?

Tornado : oui, je leur ai dit de faire autre chose. Nous, on l'a eu dans un DS d'informatique pour majorer une certaine probabilité en rapport avec un langage

EDIT :

SPOILER:

Ouep, ça se réécrit arg(b-a)-arg(d-a)=arg(b-c)-arg(d-c) mod pi soit (AD,AB)=(CD,CB) mod pi. Ils sont donc bien cocycliques (comme l'a dit chépuki plus bas)

[Luckyos]

Un exo d'arithmétique pas très dur :

Montrer que pour tout entier naturel non nul $ n $ et pour tout couple d'entiers relatifs $ (a;b) $ : si $ a\equiv b [n] $ alors $ a^{n} \equiv b^{n}[n^{2}] $

SPOILER:

$ a^n-b^n = (a-b)(\sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}) $
Or $ n \mid a-b $ et $ \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k} \equiv \sum_{k=0}^{n-1} b^{n-1} \equiv n \times b^{n-1} \equiv 0 [mod.n] $ donc $ n^2 \mid a^n-b^n $ d'où $ a^n \equiv b^n [mod.n^2] $

(Pourquoi mon LaTeX rend si moche ???)

C'est parce que tu t'ennuies pendant l'attente des résultats que tu t'amuses à voler la vedette aux TS du topic ?

[Bidoof]

Sinon, en voilà un plutôt classique (qui s'est retrouvé dans un de nos DS d'informatique au cours de l'année, mais c'est bel et bien des maths) :
Soit $ (u_n) $ une suite positive telle que $ \forall n, \forall m, u_{n+m} \leq u_n + u_m $. Montrer que $ \frac{u_n}{n} $ converge.

Ca c'est pas facile facile pour des TS, donc laissez tomber si vous y arrivez pas (c'est un classique de sup, vous le verrez sans doute ce lemme sous-additif). J'ai vu une très belle application de ce résultat récemment dans une conférence

Par curiosité tu pourrais nous en dire plus s'il te plaît !

[Jio15]

Un exo d'arithmétique pas très dur :

Montrer que pour tout entier naturel non nul $ n $ et pour tout couple d'entiers relatifs $ (a;b) $ : si $ a\equiv b [n] $ alors $ a^{n} \equiv b^{n}[n^{2}] $

SPOILER:

$ a^n-b^n = (a-b)(\sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}) $
Or $ n \mid a-b $ et $ \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k} \equiv \sum_{k=0}^{n-1} b^{n-1} \equiv n \times b^{n-1} \equiv 0 [mod.n] $ donc $ n^2 \mid a^n-b^n $ d'où $ a^n \equiv b^n [mod.n^2] $

(Pourquoi mon LaTeX rend si moche ???)

C'est parce que tu t'ennuies pendant l'attente des résultats que tu t'amuses à voler la vedette aux TS du topic ?

Oui (et parce que l'exo est intéressant )!
Mais c'est un assez mauvais exercice pour un TS. La formule $ a^n-b^n $ le rend trivial, mais celle-ci n'est a priori pas connue des lycéens. Donc à moins de s'attendre à ce qu'ils aient l'idée de la formule...

En vrai, je trouve ça intéressant tous ces exercices de géométrie postés ici. Beaucoup plus que les exercices de réduction des endomorphismes ou autres dans MP(*).

[Luckyos]

Je pense que pas mal des TS d'ici connaissent la formule, mais je me suis dit que là c'était quand même assez naturel de chercher une factorisation, avec (a-b) qui est divisible par n en plus.

[Gréco-bactrien]

ça doit se caractériser géométriquement non ?

Je crois que les points d'affixes $ a,b,c,d $ sont cocycliques.

[symétrie]

Voici un exercice pas facile.

On admet le fait suivant : si $ a < b $ sont des réels et $ f : [a, b] \to \mathbb{R} $ est continue, alors $ |\int_a^b f| \leq \int_a^b |f| $.

On se donne $ x : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ dérivable telle que pour tout $ t \in \mathbb{R} $, on ait $ x'(t) = x(t - 1) $. On suppose qu'il existe $ M \in \mathbb{R} $ tel que pour tout $ t \in \mathbb{R} $, on ait $ |x(t)| \leq M $. Montrer que pour tout $ t \in \mathbb{R} $, on a $ x(t) = 0 $.