Exercices de MPSI

[Jio15]

Bof. Pour moi ((1,0)->(1,0)->(-1,0)->(-1,0)) c'est un rectangle (dégénéré, certes).

[Mykadeau]

Le cas avec 4 points en O aussi, je sais pas si on considère ces cas comme des rectangles, mais tu as sans doute raison

[Gréco-bactrien]

En fait, c'est plutôt
"les points $ A,B,C,D $ sont les sommets d'un rectangle"
que "$ ABCD $ est un rectangle", j'ai tapé trop vite

... et $ A,B,C,D $ sont en effet distincts.

[Siméon]

Je pense que ma solution de mélanger raisonnement géométrique (montrer que tel segment est un diamètre du cercle etc...) et raisonnement algébrique (utiliser la factorisation puis la propriété que C est intègre) est optimale. Mais si quelqu'un voit une preuve purement géométrique ou purement algébrique, faites tourner

SPOILER:

Supposons que $ a + b + c + d = 0 $ et posons I,J les milieux respectifs de [AB] et [CD]. Alors O est le milieu de [I,J].
Les autres cas étant triviaux, on peut supposer que $ A \neq B $, $ C \neq D $ et $ I \neq J $. Puisque les triangles OAB et OCD sont isocèles de sommet O, la droite (IJ) est alors à la fois perpendiculaire à (AB) et à (CD). Ainsi, (AB) est parallèle à (CD). On montre de même que (BC) est parallèle à (DA).

[Jio15]

Ah oui, ça c'est bien vu, merci

[Syl20]

Si vous avez des exos sympas, n'hésitez pas

[Jio15]

J'ai découvert celui-ci grâce à un concours organisé dans mon lycée : On appelle entier un rectangle (ayant ses côtés parallèles aux axes) dont au moins un côté est entier. Montrer que si un rectangle se décompose en rectangles entiers, alors il est entier.

Nous l'avions résolu avec de l'analyse de spé, mais j'en ai trouvé des preuves géométriques élémentaires sur Internet depuis (assez créatives mais accessibles à un collégien).

Je mets en spoiler la solution analytique (qui m'a permis de remporter une clé USB ) :

SPOILER:

Il s'agit de calculer l'intégrale sur tous les points $ (x,y) $ d'un rectangle de $ e^{2 i \pi (x+y)} dx dy $. En fubinisant, on voit que c'est nul si et seulement si le rectangle est entier.
Si un gros rectangle se décompose en petits rectangles entiers, alors l'intégrale sur le gros rectangle est la somme des intégrales sur les petits donc elle vaut $ 0+...+0=0 $, donc le gros rectangle est entier.

Voici un papier détaillant des preuves alternatives.

Sinon, en voilà un plutôt classique (qui s'est retrouvé dans un de nos DS d'informatique au cours de l'année, mais c'est bel et bien des maths) :
Soit $ (u_n) $ une suite positive telle que $ \forall n, \forall m, u_{n+m} \leq u_n + u_m $. Montrer que $ \frac{u_n}{n} $ converge.

EDIT : Puisque tu es visiblement en Terminale, tu as sûrement besoin d'aide (ne serait-ce que d'une vraie définition de la limite), je te donne quelques résultats ici :

• $ \frac{u_n}{n} $ est une suite positive, elle admet donc une borne inférieure $ l $, c'est-à-dire un réel positif tel que $ \forall n, \frac{u_n}{n} \geq l $ et $ \forall \epsilon >0, \exists n, \frac{u_n}{n} \leq (l+\epsilon) $.
• Tu es tenté de montrer que $ \frac{u_n}{n} \rightarrow l $, c'est-à-dire $ \forall \epsilon >0, \exists n_0, \forall n \geq n_0, \frac{u_n}{n} \leq (l+\epsilon) $. Pour ça, pense à utiliser la propriété précédente et la division euclidienne (avec une récurrence bien sentie). N'oublie pas que cette longue propriété est la définition d'une limite, donc si tu as appris en Terminale qu'une certaine suite tend vers $ 0 $ par exemple, tu peux l'utiliser.

EDIT2 : Tout bien réfléchi, ça n'est pas très intéressant pour un Terminale. Amuse toi plutôt avec le problème suivant :
1) Soit u et v deux fonctions C1. De la formule (uv)' = u'v + uv', déduire un moyen d'exprimer $ \int_a^b uv' $ en fonction de $ uv $ et de $ \int_a^b u'v $.
2) Soit $ W_n=\int_0^{\pi/2} sin^n(x) dx $. Montrer que $ W_n $ est strictement décroissante et donc convergente, puis exprimer $ W_{n+2} $ en fonction de $ W_n $ grâce à la formule précédente.
3) Calculer $ W_0 $ et $ W_1 $. En déduire l'expression de $ W_n $ pour tout n, en notant $ n!=1 \times 2 \times ... \times n $ et en faisant des remarques du type : $ 2^n \times n! = 2 \times 4 \times ... \times (2n) = \frac{(2n)!}{1 \times 3 \times ... \times (2n-1)} $
4) On admet qu'il existe une constante $ C $ telle que $ \frac{n! e^n}{\sqrt{n} n^n} \rightarrow C $. En exprimant la limite de $ W_n $ de deux manières différentes, calculer $ C $.

C'est bien du niveau d'un DM entier de terminale, donc prends ton temps et savoure la beauté des résultats démontrés.

[Syl20]

J'ai découvert celui-ci grâce à un concours organisé dans mon lycée : On appelle entier un rectangle (ayant ses côtés parallèles aux axes) dont au moins un côté est entier. Montrer que si un rectangle se décompose en rectangles entiers, alors il est entier.

Nous l'avions résolu avec de l'analyse de spé, mais j'en ai trouvé des preuves géométriques élémentaires sur Internet depuis (assez créatives mais accessibles à un collégien).

Je mets en spoiler la solution analytique :

SPOILER:

Il s'agit de calculer l'intégrale sur tous les points $ (x,y) $ d'un rectangle de $ e^{2 i \pi (x+y)} dx dy $. En fubinisant, on voit que c'est nul si et seulement si le rectangle est entier.
Si un gros rectangle se décompose en petits rectangles entiers, alors l'intégrale sur le gros rectangle est la somme des intégrales sur les petits donc elle vaut $ 0+...+0=0 $, donc le gros rectangle est entier.

Voici un papier détaillant des preuves alternatives.

Comme ça j'ai une solution par contraposée :

SPOILER:

On appelle "ligne" (resp colonne) de décomposition une zone horizontale (resp verticale) dont les rectangles ne couvrent toute la largeur (je vais rajouter un schéma si j'y arrive )
Supposons qu'on ait un rectangle non entier. Cela signifie qu'il y a au moins une colonne de largeur non entière. Or, comme cette colonne a la longueur d'un côté du rectangle, cette colonne contient donc un rectangle dont aucun des deux côtés n'est entier. On ne peut donc pas décomposer un rectangle non entier en rectangles entiers. On montre alors la propriété voulue par contraposée.

[Luckyos]

Un exo d'arithmétique pas très dur :

Montrer que pour tout entier naturel non nul $ n $ et pour tout couple d'entiers relatifs $ (a;b) $ : si $ a\equiv b [n] $ alors $ a^{n} \equiv b^{n}[n^{2}] $

[Jio15]

Un exo d'arithmétique pas très dur :

Montrer que pour tout entier naturel non nul $ n $ et pour tout couple d'entiers relatifs $ (a;b) $ : si $ a\equiv b [n] $ alors $ a^{n} \equiv b^{n}[n^{2}] $

SPOILER:

$ a^n-b^n = (a-b)(\sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}) $
Or $ n \mid a-b $ et $ \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k} \equiv \sum_{k=0}^{n-1} b^{n-1} \equiv n \times b^{n-1} \equiv 0 [mod.n] $ donc $ n^2 \mid a^n-b^n $ d'où $ a^n \equiv b^n [mod.n^2] $

(Pourquoi mon LaTeX rend si moche ???)