Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par ama26 » 07 août 2015 22:01

youyou7 a écrit :Montrer que (E(x)^E((x)))/(x^x) n'admet pas de limite en +oo
SPOILER:
en +oo 0<E(x)^E(x)<=x^x
(E(x)^E(x))/(x^x) = 1 si x entier
Donc (E(x)^E(x))/(x^x) oscille entre 1 aux valeurs entieres et $ \frac{E(x)^{(E(x))}}{(E(x)+1-\mathcal{E})^{(E(x)+1-\mathcal{E})}}=\frac{E(x)^{(E(x))}}{E(x+1)^{(E(x+1)}} $
quand x tend par valeurs inferieures a l'entier supérieur.

Pour que la fonction aie une limite de 1, il faudrait que E(x)^E(x) tende vers x^x en +oo.
Considérons les suite d'entiers xb, avec xb = a + b avec b fixe dans ]0;1[
lim a^a/(a+b)^(a+b) = lim a^a/a^(a+b) (ici on peut remplacer a+b^a+b par a^a+b car a^(a+b)<(a+b)^(a+b) et si la lim tend vers 0 avec a^a+b elle le fera a forciori avec une fonction plus violente: a+b^a+b)
= lim a^a/a^a*a^b = lim a^(-b) = 0
Ainsi toutes les suites xb, de même fréquence que les entiers, tendent vers 0.
On a donc dans la fonction des suites tendant a même fréquence(b constant), vers d'autres limites que 1. (je sais pas trop comment le formuler plus rigoureusement).

Ainsi on a deux limites qui alternent, celle des suites xb de meme partie non entiere b et celle des entiers. La limite de chaque suite xb est diffèrente de 1 car xb^xb - E(xb)^E(xb) = (a+b)^(a+b) - a^a tend vers +oo. La limite des entiers est 1.
Il n'y a donc pas de limite.
J'ai fait ca vite fait, sans papier, désolé pour la présentation. j'ai peut etre oublié un truc ?

édité pour corrections.
Modifié en dernier par ama26 le 08 août 2015 17:01, modifié 6 fois.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par adamard10 » 08 août 2015 00:10

SPOILER:
Voilà, tout réel x à la partie fractionnaire non nulle a une image arbitrairement proche de 0. Est-ce qu'on peut parler de convergence simple?
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par ama26 » 08 août 2015 00:34

adamard10 a écrit :
SPOILER:
Voilà, tout réel x à la partie fractionnaire non nulle a une image arbitrairement proche de 0. Est-ce qu'on peut parler de convergence simple?
SPOILER:
C'est a moi que tu poses la question, ou tu ne sais pas ? Je viens de voir sur Wikipedia ce qu'était qu'une convergence simple. A mon avis oui, c'est ca, en comparant avec la fonction sin^n(x) en exemple sur wikipedia. sin^n(x) est continue et converge vers une fonction non continue, de même pour celle-ci(converge en +oo vers la droite y=0 privée des x€N où y=1).
edit: J'avais pas compris la question, faut savoir si on parle de convergence simple quand c'est en +oo
Modifié en dernier par ama26 le 08 août 2015 05:23, modifié 1 fois.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par adamard10 » 08 août 2015 00:45

SPOILER:
J'avais vu le même exemple ^^ je me demandais juste si on peut utiliser ce terme vu que c'est un comportement à l'infini...
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par ama26 » 08 août 2015 01:16

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par bullquies » 08 août 2015 01:36

je ne comprends pas ce que vous racontez avec le cos^2n(x), tu peux expliquer pourquoi ca pose problème `?
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par ama26 » 08 août 2015 01:46

SPOILER:
edit: Non en fait la question est de savoir si on parle d'une convergence simple en +oo ou pas. Rien à voir avec cos^2n(x).
Modifié en dernier par ama26 le 08 août 2015 05:25, modifié 1 fois.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Oka » 08 août 2015 04:40

ama26 a écrit :
SPOILER:
en +oo 0<E(x)^E(x)<=x^x
(E(x)^E(x))/(x^x) = 1 si x entier
Donc (E(x)^E(x))/(x^x) oscille entre 1 aux valeurs entieres et $ \frac{E(x)^(E(x))}{(E(x)+1-\mathcal{E})^(E(x)+1-\mathcal{E})}=\frac{E(x)^(E(x))}{E(x+1)^(E(x+1)} $
quand x tend par valeurs inferieures a l'entier supérieur.

Pour que la fonction aie une limite de 1, il faudrait que E(x)^E(x) tende vers x^x en +oo.
Prenons a = E(x) et b dans ]0;1[ b = x - E(x).
Or x^x - E(x)^E(x) tend vers +oo pour les valeurs non entieres de x car quand a tend vers +oo ((a+b)^(a+b) - a^(a+b)) aussi, (l'écart entre deux fonctions exponentielles de bases a+b et a), or a^a < a^a+b, donc (a+b)^(a+b) - a^a tend aussi vers vers +oo)
E(x)^E(x) / x^x ne tend pas vers 1 pour les valeurs non entières.

Ainsi on a deux limites qui alternent, celle des valeurs intermediares R - N: l1= lim(E(x)^E(x)) =/=, et celle des valeurs entières N: l2=1. l1=/=l2
Il n'y a donc pas de limite. On pourrait étudier la limite de E(x)^E(x)/x^x pour x non entier (ca doit etre 0) mais pour cet exo il nous suffit de montrer qu'elle est differente de 1.
J'ai fait ca vite fait, sans papier, désolé pour la présentation. j'ai peut etre oublié un truc ?
c'est plutot $ E(x)^{E(x)} $ est equivalent a $ x^x $ en +oo que tu veux dire non ?
ensuite quand tu pose $ a=E(x) $ tu as pas fixé $ x $ je pense puisque tu le fais varier apres donc $ a $ est une fonction de $ x $ et pareil pour $ b $. donc quand x varie il y a $ a $ qui varie mais aussi $ b $ alors que tu justifie en faisant varier que $ a $ donc c'est pas pareil
$ x^x-E(x)^{E(x) $ tend vers +oo implique pas que $ \frac{E(x)^{E(x)}}{x^x} $ ne tend pas vers 1 d'ailleurs ici on peut prendre une suite non entiere $ x_n $ qui tend vers +oo avec $ \frac{E(x_n)^{E(x_n)}}{x_n^{x_n}} $ qui tend vers 1
en fait je crois que tu considere la suite de fonction $ f_n $ definies sur $ [0;1[ $ par $ f_n(x)=\frac{E(n+x)^{E(n+x)}}{(n+x)^{n+x}} $ dans ce cas c'est plus logique et en plus on peut parler de convergence simple alors que on peut pas si on a que une seule fonction

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par ama26 » 08 août 2015 05:52

Oups, j'ai glissé d'un comportement à l'infini vers une suite de fonctions en revenant rapidement sur l'exo, désolé. Donc si elle adopte un comportement de convergence simple en x --> +oo ça s'appelle comment ?
pour les puissances, j'ai oublié les "{}".

Pour a et b ca a été rajouté à la fin. En gros en décomposant x en a et b, pour tout x, (a+b)^(a+b) - a^a tend vers +oo quand a( et x) tendent vers +oo, mais b fixé.
Ta suite, elle prend a chaque fois une valeur dont le chiffre apres la virgule est de plus en plus bas, non ? le b tend vers 0 dans ta suite.
En gros je considérais un b fixe, et j'ai prouvé que (a+b)^(a+b) - a^a tend vers +oo, donc avec ce b fixe, la suite des x = a + b tendait vers autre chose que 1.
On peut faire ca pour tous les b fixes, et on a plein de suites, en fonction des b, dans la fonction qui ne tendent pas vers 1, mais 0. En rédigeant je n'avais pas considèré qu'il fallait fixer le b.
J'ai corrigé dans le post initial.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Oka » 08 août 2015 06:52

ama26 a écrit :Oups, j'ai glissé d'un comportement à l'infini vers une suite de fonctions en revenant rapidement sur l'exo, désolé. Donc si elle adopte un comportement de convergence simple en x --> +oo ça s'appelle comment ?
pour les puissances, j'ai oublié les "{}".

Pour a et b ca a été rajouté à la fin. En gros en décomposant x en a et b, pour tout x, (a+b)^(a+b) - a^a tend vers +oo quand a( et x) tendent vers +oo, mais b fixé.
Ta suite, elle prend a chaque fois une valeur dont le chiffre apres la virgule est de plus en plus bas, non ? le b tend vers 0 dans ta suite.
En gros je considérais un b fixe, et j'ai prouvé que (a+b)^(a+b) - a^a tend vers +oo, donc avec ce b fixe, la suite des x = a + b tendait vers autre chose que 1.
On peut faire ca pour tous les b fixes, et on a plein de suites, en fonction des b, dans la fonction qui ne tendent pas vers 1, mais 0. En rédigeant je n'avais pas considèré qu'il fallait fixer le b.
J'ai corrigé dans le post initial.
une fonction peut pas adopter un comportement de convergence simple en +oo ça n'a pas de sens c'est un vocabulaire de suite de fonction
désolé j'avais pas compris que tu fixais b puisque tu parlais de valeurs non entieres de x ensuite
par contre la tu justifie pas que $ \frac{a^a}{(a+b)^{(a+b)}} $ tend pas vers 1

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