Une Question ?

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
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Une Question ?

Message par razdou » 19 juil. 2018 17:13

Bonjour a tous ;
J'ai une question on me donne une fonction f et une fonction g on me donne l'égalité f(XinterA)=g^-1(X) y me dit déduire que g est continue sachant de que X est fermee et A est compacte (f qui vas de A dans F et g de f(A) dans E ) l'indication est montrer que g^-1(X) est un ferme relatif de f(A) ma question est simple montrer que l'image reciproque d'un ferme est un ferme relatif implique que mon application est continue ?! (ce n'est pourtant pas le cours )

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Re: Une Question ?

Message par matmeca_mcf1 » 19 juil. 2018 17:22

Oui. Si on a une fonction f:X->Y où X et Y sont deux espaces topologiques (remplacer par evn en prépa), f est continue ssi l'image réciproque de tout fermé de Y est un fermé de X. Et f est continue ssi l'image réciproque de tout ouvert de Y est un ouvert de X. Je n'ai pas regardé le programme mais cela m'étonnerait que ce soit au programme de prépa.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Une Question ?

Message par razdou » 19 juil. 2018 18:26

oui , cela me semble bizarre en effet le seul theoreme que l'on a c'est si mon application est continue l'image reciproque d'un ferme est un fermee ( de meme pour ouvert ) et aussi avec ferme relatif en précisant les ensembles cst pour cela je me demande cela sort d'où ?

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Re: Une Question ?

Message par Zetary » 19 juil. 2018 18:42

En prépa on travaille avec des espaces métriques : la définition usuelle de la continuité se reformule en «pour tout x pour tout e>0 il existe d>0 tel que f(B(x,d)) est inclus dans B(f(x), e)», ce qui équivaut à «pour tout x, tout voisinage de f(x) contient l’image d’un voisinage de x» autrement dit «pour tout ouvert V de l’espace d’arrivée, d’image réciproque U, pour tout x dans U, V est un voisinage de f(x) et U contient alors un voisinage de x» ce qui équivaut exactement à «pour tout ouvert V de l’espace d’arrivée, d’image réciproque U, U est ouvert» (et on en déduit le cas fermé car image réciproque et complémentaire commutent)

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