Une Question ?

[razdou]

Bonjour a tous ;
J'ai une question on me donne une fonction f et une fonction g on me donne l'égalité f(XinterA)=g^-1(X) y me dit déduire que g est continue sachant de que X est fermee et A est compacte (f qui vas de A dans F et g de f(A) dans E ) l'indication est montrer que g^-1(X) est un ferme relatif de f(A) ma question est simple montrer que l'image reciproque d'un ferme est un ferme relatif implique que mon application est continue ?! (ce n'est pourtant pas le cours )

[matmeca_mcf1]

Oui. Si on a une fonction f:X->Y où X et Y sont deux espaces topologiques (remplacer par evn en prépa), f est continue ssi l'image réciproque de tout fermé de Y est un fermé de X. Et f est continue ssi l'image réciproque de tout ouvert de Y est un ouvert de X. Je n'ai pas regardé le programme mais cela m'étonnerait que ce soit au programme de prépa.

[razdou]

oui , cela me semble bizarre en effet le seul theoreme que l'on a c'est si mon application est continue l'image reciproque d'un ferme est un fermee ( de meme pour ouvert ) et aussi avec ferme relatif en précisant les ensembles cst pour cela je me demande cela sort d'où ?

[Zetary]

En prépa on travaille avec des espaces métriques : la définition usuelle de la continuité se reformule en «pour tout x pour tout e>0 il existe d>0 tel que f(B(x,d)) est inclus dans B(f(x), e)», ce qui équivaut à «pour tout x, tout voisinage de f(x) contient l’image d’un voisinage de x» autrement dit «pour tout ouvert V de l’espace d’arrivée, d’image réciproque U, pour tout x dans U, V est un voisinage de f(x) et U contient alors un voisinage de x» ce qui équivaut exactement à «pour tout ouvert V de l’espace d’arrivée, d’image réciproque U, U est ouvert» (et on en déduit le cas fermé car image réciproque et complémentaire commutent)