Fonction de dérivée non nulle non bijective.

[ROH2F(x)]

Est-ce qu'il existe une fonction dérivable de dérivée non nulle qui n'est pas bijective ?
D'après le cours de première année, si $f$ est $C^{1}$ c'est impossible. Sinon c'est pas sur que ce soit impossible. On pourrait chercher une fonction de dérivée non nulle et non monotone.

Mais je ne vois pas.

[Zrun]

Oui prends $ f(x)=x^2 $.
Tu confonds dérivée nulle et dérivée qui s’annule ....

[ROH2F(x)]

Oui je voulais dire dérivée qui s'annule pas.

[lamdba]

Si f continue et dérivable de dérivée qui ne s’annule pas (ou que sur un intervalle trivial) alors f est strictement monotone (car f’ est de signe constant). Or f continue + strictement monotone => f bijection.

[ROH2F(x)]

Pourquoi la dérivée serait continue ? Tu te rends compte que tu utilises le TVI ici hien ?

[lamdba]

Je n’ai jamais dit que la dérivée serait continue. Donc je ne comprends pas trop ta remarque, étant donné que dans ta question de base, à aucun moment on parle de la continuité de la dérivée.

Oui, ce sont les hypothèses et résultats du TVI.

[Laotseu]

Si f n'était pas injective, f' s'annulerait (c'est le théorème de Rolle). Et les fonctions injectives continues sont strictement monotones.

[ROH2F(x)]

Comment tu sais alors que si la dérivée ne s'annule pas alors elle a un signe constant ?

[ROH2F(x)]

Ok pour le théorème de Roll en prenant un intervalle qui convient.

[lamdba]

Comment tu sais alors que si la dérivée ne s'annule pas alors elle a un signe constant ?

On a f continue et dérivable sur I et f’ ne s’annule pas sur I.

On suppose que f’ n’est pas de signe constant, par l’absurde.
Alors il existe a et b dans I tq f’(a) > 0 et f’(b) < 0.

Supposons que f est injective. f est continue injective sur I donc strictement monotone. Absurde car f’ serait de signe constant.

Donc si f n’est pas injective, il existe x et y dans I tq f(x)=f(y) et donc par Rolle, il existe c dans I tq f’(c)=0. Absurde


Donc f’ est de signe constant.


Plus simple:
On peut aussi dire que si f’ ne s’annule pas, alors f est injective.
Or continue + injection => bijection.