interprétation du coefficient binomial

[Porus]

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre l'interprétation intuitive qu'on fait du coefficient binomial càd on dit que par exemple "$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $" représente "le nombre de parties à K éléments dans un ensemble à n éléments"

mais je vois pas du tout d’où sort cette interprétation...


merci de votre aide

[Ali_J]

Commençons déjà par interpréter le nombre d'arrangements, dont la formule plus simple est donnée par $ A_k^n=n(n-1)..(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!} $.
Cette formule correspond au nombre de k-uplets (donc l'ordre compte) choisis dans $ \{1,..,n\} $, sans répétition.
On note donc $ B_{k,n}=\{(a_1,...,a_k) / \forall i=1,..,k; a_i \in \{1,..,n\} ; i \neq j \implies a_i \neq a_j\} $
Je te laisse le soin d'établir une bijection (naturelle) entre $ B_{k,n} $ et $ \{1,..,n\}\times B_{k-1,n-1} $.
On en déduit que $ A_{k,n}=nA_{k-1,n-1} $ et donc par récurrence sur k la formule $ A_k^n=n(n-1)..(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!} $ en découle.
Maintenant il s'agit de prouver que $ {{n}\choose{k}} k! =A_k^n $
Pour le prouver, on introduit $ P_{k,n} $ l'ensemble des parties à k éléments de $ \{1,..,n\} $ et $ S_k $ le groupe des permutations opérant sur k éléments.
On peut naturellement établir une bijection entre $ P_{k,n} \times S_k $ et $ B_{k,n} $
(Informellement, c'est dire qu'un k-uplet (où l'ordre compte) est la donnée d'une partie à k éléments (où l'ordre ne compte pas) et d'une permutation qui opère sur cette partie (qui définit justement un ordre)).
Ces deux ensembles ont donc même cardinal et on retrouve la formule demandée !

[prepamath]

Pour cela, il suffit de compter le nombre d'injections N de [|1,k|] dans [|1,n|] de deux façons différentes.

D'un certain point de vue, pour construire une telle injection, il suffit de choisir une partie de [|1,n|] à k éléments et de donner une image différente à chaque élément de [|1,k|] donc $ N = k!\binom{n}{k} $

D'un autre point de vue, pour construire une injection de [|1,k|] dans [|1,n|], il suffit de choisir une image différente pour chaque élement de [|1,k|] donc $ N = n(n-1)..(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} $

Donc : $ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $

[Chronoxx]

On pose $C_{k,n}$ le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments.

On va dénombrer de deux manières le nombre de $k-$uplets sans répétition d'éléments pris dans un ensemble à $n$ éléments (par exemple $(1,4,2)$ est un $3-$uplet sans répétition de $\{1,2,3,4\}$ mais $(1,4,4)$ en n'est pas un car $4$ est répété).

Pour construire un $k-$uplet sans répétition, tu peux d'abord :
- choisir un sous-ensemble à $k$ éléments de ton ensembles à $n$ éléments : $C_{k,n}$ choix.
- permuter les $k$ éléments de ton sous-ensemble : $k!$ choix.
En clair, le nombre de $k-$uplets sans répétition vaut $k!C_{k,n}$.

Maintenant, on va dénombrer autrement. Tu peux aussi :
- choisir ton 1er élément parmi les $n$ : $n$ choix
- choisir ton 2eme élément parmi les $n-1$ restants (car tu ne veux pas de répétition) : $n-1$ choix
- etc
- choisir ton $k-$ième élement parmi les $n-k+1$ restants : $n-k+1$ choix
En clair, t'as $n(n-1)...(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$ k-uplets sans répétition.

Bref, avec ce qui précède, tu trouves $C_{k,n} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

[Ali_J]

On pose $C_{k,n}$ le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments.

On va dénombrer de deux manières le nombre de $k-$uplets sans répétition d'éléments pris dans un ensemble à $n$ éléments (par exemple $(1,4,2)$ est un $3-$uplet sans répétition de $\{1,2,3,4\}$ mais $(1,4,4)$ en n'est pas un car $4$ est répété).

Pour construire un $k-$uplet sans répétition, tu peux d'abord :
- choisir un sous-ensemble à $k$ éléments de ton ensembles à $n$ éléments : $C_{k,n}$ choix.
- permuter les $k$ éléments de ton sous-ensemble : $k!$ choix.
En clair, le nombre de $k-$uplets sans répétition vaut $k!C_{k,n}$.

Maintenant, on va dénombrer autrement. Tu peux aussi :
- choisir ton 1er élément parmi les $n$ : $n$ choix
- choisir ton 2eme élément parmi les $n-1$ restants (car tu ne veux pas de répétition) : $n-1$ choix
- etc
- choisir ton $k-$ième élement parmi les $n-k+1$ restants : $n-k+1$ choix
En clair, t'as $n(n-1)...(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$ k-uplets sans répétition.

Bref, avec ce qui précède, tu trouves $C_{k,n} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Nos réponses respectives se basent sur la même idée de fond, j'ai juste trouvé ça chiant d'exprimer tout ça de manière formelle.
Est ce que les réponses de ce type sont généralement acceptées dans la communauté mathématique ?

[Chronoxx]

Nos réponses respectives se basent sur la même idée de fond, j'ai juste trouvé ça chiant d'exprimer tout ça de manière formelle.
Est ce que les réponses de ce type sont généralement acceptées dans la communauté mathématique ?

Je ne cherche pas à faire une démonstration rigoureuse mathématiquement "accepté par la communauté mathématique" avec des bijections ici surtout quand il s'agit d'expliquer à quelqu'un. J'ai présenté ma manière de dénombrer que je trouve très intuitive, c'est personnel.

[Ali_J]

Nos réponses respectives se basent sur la même idée de fond, j'ai juste trouvé ça chiant d'exprimer tout ça de manière formelle.
Est ce que les réponses de ce type sont généralement acceptées dans la communauté mathématique ?

Je ne cherche pas à faire une démonstration rigoureuse mathématiquement "accepté par la communauté mathématique" avec des bijections ici surtout quand il s'agit d'expliquer à quelqu'un. J'ai présenté ma manière de dénombrer que je trouve très intuitive, c'est personnel.

T'inquiète c'était pas une critique, je voulais réellement savoir si ce genre de réponse passe dans un cadre plus formel (par exemple dans un écrit ou oral de concours) parce qu'en effet c'est plus intuitif et moins chiant.

[JeanN]

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre l'interprétation intuitive qu'on fait du coefficient binomial càd on dit que par exemple "$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $" représente "le nombre de parties à K éléments dans un ensemble à n éléments"

mais je vois pas du tout d’où sort cette interprétation...


merci de votre aide

Tu n'as pas eu de cours de dénombrement en première année ?
http://christophebertault.fr/documents/ ... rement.pdf