Tenseur

[jeveapgt]

Bonsoir

J'ai un exo sur les tenseurs qui me pose problème.

Démontrer :
Égalité A :
i (souligné 2 fois) : J = J : i (souligné 2 fois) = i (souligné 2 fois)

Égalité B :
i (souligné 2 fois) : I = I : i (souligné 2 fois) = i (souligné 2 fois)

Égalité C :
i (souligné 2 fois) : K = K : i (souligné 2 fois) = 0 (souligné 2 fois)

Je n'ai vraiment aucune idée de la démarche... Pourriez-vous m'aiguiller un peu svp ?

Merci par avance

[Bilandeqdm]

Quelle est la question de l'exercice ? Que sont J,I et K ? Des tenseurs d'ordre 2 sans doute. Ont-ils des formes particulières ?

Sinon pour les exercices de base d'algèbre tensorielle, tu peux essayer de décomposer tes tenseurs sous forme de somme de tenseurs élémentaires ie $ T = T_{ij} \, e_i\bigotimes e_j $ puis de faire tes contractions doubles et simples dessus et voir ce qu'il en ressort

[JeanN]

Bonsoir

J'ai un exo sur les tenseurs qui me pose problème.

Démontrer :
Égalité A :
i (souligné 2 fois) : J = J : i (souligné 2 fois) = i (souligné 2 fois)

Égalité B :
i (souligné 2 fois) : I = I : i (souligné 2 fois) = i (souligné 2 fois)

Égalité C :
i (souligné 2 fois) : K = K : i (souligné 2 fois) = 0 (souligné 2 fois)

Je n'ai vraiment aucune idée de la démarche... Pourriez-vous m'aiguiller un peu svp ?

Merci par avance

C'est incompréhensible.
Tape en latex ou envoie des photos (ou liens vers des photos).
Par ailleurs, si tu as un pdf de ton cours, partage le qu'on puisse se familiariser avec la façon d'aborder le sujet.

[jeveapgt]

Merci de vos réponses :

Voici le poly de cours où les notations sont explicitées :
https://www.cjoint.com/data/JJDmyNO4SUl_tenseurs.pdf

l'exo est page 28, en haut de la page.

Pourriez vous me donner une démarche de résolution svp ?

merci

[JeanN]

Désolé mais j'avoue mon incompétence.
Par ailleurs, ce n'est pas de ta faute mais je trouve extrêmement désagréable de devoir digérer 27 pages de cours plus ou moins nébuleuses avant d'arriver au premier exercice...
Sans parler d'horreurs telles que "soient (ei), (fj), (gk) LES bases de Em, En, Ep" (à la page 7)"

Bon courage.

[jeveapgt]

Merci quand même d'avoir tenté de m'aider.

Désolée pour ce cours qui est effectivement très indigeste pour moi.

Comment selon vous je peux m'en sortir avec ce cours ?

[JeanN]

Merci quand même d'avoir tenté de m'aider.

Désolée pour ce cours qui est effectivement très indigeste pour moi.

Comment selon vous je peux m'en sortir avec ce cours ?

Je vais être pessimiste : tu ne peux pas.
A ta place je prendrais quelques avis extérieurs (pour avoir un autre point de vue qu'ici) et j'irais râler auprès du directeur des études de ton établissement.

[matmeca_mcf1]

La notion de tenseur n'est pas évidente à expliquer. Si on essaie de le faire proprement mathématiquement, on part vite dans un niveau d'abstraction trop élevée). En effet, pour définir les tenseurs dans le cas général sans faire intervenir les bases, on fait intervenir le concept très abstrait de propriétés universelles. Je mets cela dans un encart (lecture déconseillée aux non mathématiciens)

SPOILER:

Soient $ (E_i)_{i\in\{1,\ldots,d\} $, il existe, à un isomorphisme près, un unique espace vectoriel noté $ \bigotimes_{i=1}^dE_i $, tel qu'il existe une application $ d $-linéaire $ \pi[\tex] tel que pour tout espace vectoriel $H$, et toute application $ f $-linéaire de
$ \bigtimes_{i=1}^dE_i $ à valeurs dans $ H $, il existe une unique application $\psi[/tex] linéaire de $ \bigotimes_{i=1}^dE_i $ à valeurs dans $ H $ vérifiant $ f=\psi\circ\pi $.

Puis, on note $ \pi(\bm{x}_1,\ldots,\bm{x}_d)=\bm{x}_1\otimes\ldots\otimes\bm{x}_d $.

C'est absolument illisible pour un public non mathématicien. Mais une fois la définition comprise, les réductions sur un ou deux indices ont un sens abstrait. (lecture toujours déconseillée aux non mathématiciens)

SPOILER:

Si $ E_1=E' $ et si $ E_d=E $, alors on la réduction sur deux indices vient juste de l'application $ f:(\ell,\bm{x}_2,\ldots,\bm{x}_{d-1},\bm{y})\mapstoell(\bm{y}\bm{x}_2\otimes\ldots\otimes\bm{x}_{d-1} $ qui est $ d $-linéaire de $ E'\times\big(\bigtimes_{i=2}^{d-1}E_i\big)\times E $ à valeurs dans $ \bigtimes_{i=2}^{d-1}E_i\big) $.

Si on introduit indices covariants et contravariants (pas forcément une bonne idée car cela rajoute son lot de complications et de confusions), il existe quelques abstractions raisonnables de la notion de tenseur. On peut décrire les tenseurs d'ordre n dont tous les indices sont covariants comme une manière de représenter les application n-linéaires à valeurs scalaire (réel ou complexe). Si un seul indice est contravariant, alors on le décrit comme un application n-1 linéaire à valeurs vectoriel. Cela permet de définir les tenseurs sans faire intervenir le choix d'une base. Mais dès que deux indices sont contravariants, il faut faire appel aux propriétés universelles et le niveau d'abstraction devient déraisonnable pour un public non mathématicien.

Je comprend le choix de définir les tenseurs d'une manière purement calculatoire à partir des composantes. Je ferais pareil pour un public de non mathématiciens. Les tenseurs sont alors définis comme des tableaux multidimensionnels qui dépendent du choix d'une (ou de plusieurs) bases, avec des règles de changements de base, et des opérations. Mais introduites de cette manière, les opérations et les règles de calcul semblent complètement arbitraires. Je pense que c'est toutefois un moindre mal dans un cursus qui ne forme pas de mathématiciens.

[JeanN]

Je reconnais volontiers l'énorme difficulté de présenter ce domaine à des non matheux.
N'ayant jamais abordé sérieusement ce thème dans mon cursus, je serais très intéressé si tu avais une référence un peu plus digeste que le pdf ci-dessus.