Définition de la limite

[Yosh2]

Bonjour,
J’ai quelques questions sur la définition formelle de la limite d’une fonction
pour tout réel ε > 0 il existe un réel r > 0 tel que pour tout x dans U tel que |x – p| < r, on ait |f(x) – L| < ε.

Pourquoi est ce qu’on introduit le r,
Pourquoi n’a t on pas directement
|x-p|< epsilon implique |f(x)-L|<epsilon ?
Est ce que si la fonction est injective, on a l’équivalent au lieu de l’implication ?
Comment a t on fait pour obtenir une telle formule ? Pour les suites je sais qu’on l’obtient en disant que les termes qui ne sont pas au voisinage de la limite forment un ensemble fini , chose que j’arrive à concevoir ? Comment fait t on dans le cas d’une fonction ?
Merci à vous

[JeanN]

Bonjour,
J’ai quelques questions sur la définition formelle de la limite d’une fonction
pour tout réel ε > 0 il existe un réel r > 0 tel que pour tout x dans U tel que |x – p| < r, on ait |f(x) – L| < ε.

Pourquoi est ce qu’on introduit le r,
Pourquoi n’a t on pas directement
|x-p|< epsilon implique |f(x)-L|<epsilon ?

Tu as envie que la racine carrée soit une fonction continue.
Or, lorsque epsilon est inférieur à 1, ton implication est fausse.

Est ce que si la fonction est injective, on a l’équivalent au lieu de l’implication ?

Non parce que si r convient, alors r' aussi petit que tu le souhaites convient aussi et il va être difficile de montrer le sens réciproque avec un r' très très petit.

Comment a t on fait pour obtenir une telle formule ? Pour les suites je sais qu’on l’obtient en disant que les termes qui ne sont pas au voisinage de la limite forment un ensemble fini , chose que j’arrive à concevoir ? Comment fait t on dans le cas d’une fonction ?
Merci à vous

Sais-tu qu'on ne démontre pas une définition ?
Ta question ne serait-elle pas "comment comprendre et retenir sans effort cette définition" ?

[Yosh2]

Bonjour,
Je n’ai pas tout à fait compris votre réponse à ma première question.
En effet la racine carrée est continue sur R+ , en quoi le epsilon =1 est une contraction, merci de m’éclaircir un peu plus.
En ce qui concerne la dernière question , je n’ai pas demander la démonstration de la définition, mais plutôt l’origine de la formule , comment l’a t on obtenu , j’imagine bien qu’un mathématicien ne s’est pas levé un matin, en disant voici la définition d’une limite et énonça la formule en question.
Aussi je suis également intéressé par la question que vous avez formulé. À savoir comment comprendre et retenir facilement la démonstration.
Merci

[JeanN]

Je me suis trompé : il convient plutôt de considérer la fonction carré pour montrer que la réciproque est fausse.
Prends x positif tel que |x^2-0^2| = 1/4 et essaye de montrer que |x-0| inférieur ou égal à 1/4...

Pour l'origine de la définition, je ne suis pas historien des maths donc je n'ai pas d'idée très claire sur ce sujet. Tu peux chercher sur google, je pense que tu auras des bouts de réponses.

Pour retenir facilement la définition, tu peux t'habituer à faire des petits dessins (demande directement à ton prof, ce sera plus facile pour lui de faire ces dessins directement sur le tableau).

[Yosh2]

Est ce que je dois considérer la réciproque ou bien la contraposee ?
Si c’est la seconde on |x^2-0^2| >= 1/4 implique |x-0|>=1/2>=1/4 ce qui est vraie .

[V@J]

Dans tous les cas, ta proposition de définition (sans r) ferait de la fonction $$ x \mapsto 2x $$ une fonction discontinue. Ce n'est évidemment pas ce que l'on souhaite.

[Tamador195]

La définition de la limite est assez intuitive : f(x)—>l lorsque x tend vers a traduit en quelque sorte : « f(x) peut être aussi proche que l’on veut de l, pourvu que x soit suffisamment proche de a ».

D’où le : pour tout ε>0, (aussi petit soit-il), il existe r>0 tel que pour tout x tel que |x-a|=< r, |f(x)-f(a)|=<ε ( on peut trouver un seuil r tel que si x est « r-proche » de a, alors f(x) sera « ε-proche » de l ).

J’espère que c’est clair

Il faut bien comprendre que r dépend de ε ! c’est pour que cela que ta définition ne tient pas la route.

[Nicolas Patrois]

C’est pour les suites mais j’aime bien présenter ça avec les tuyaux :

Tout tuyau de largeur $ \epsilon>0 $ centré en $ a $ contient tous les éléments de la suite à partir d’un certain rang $ N_0 $.

[JeanN]

Est ce que je dois considérer la réciproque ou bien la contraposee ?
Si c’est la seconde on |x^2-0^2| >= 1/4 implique |x-0|>=1/2>=1/4 ce qui est vraie .

Reoups, je me suis embrouillé entre tes différentes questions .
Si tu prends eps=1/4 puis x positif tel que |x-0|=1/4, tu auras du mal à montrer que $ |\sqrt{x}-\sqrt{0}|\leq 1/4 $
Et donc ça contredirait la continuité de $ \sqrt{} $ en 0.
Bon, l'exemple de v@j est plus simple...

[Yosh2]

Bonjour
V@j pouvez vous me dire pourquoi la fonction 2x n’est plus continue dans ce cas ? Elle n’est plus continue en quel point ? Pouvez vous me montrer la contradiction en utilisant les quantificateurs ?
Merci