Approximation uniforme par des exponentielles decroissantes

[Mourien]

Bonsoir, je cherche l'énoncé suivant :

Soit $ f\in C^0(\mathbb R_+,\mathbb R) $. Trouver une condition nécessaire sur $ f $ pour qu'elle soit limite uniforme d'une suite de fonctions de la forme $ x\mapsto \displaystyle \sum_{k=0}^n \lambda_k e^{-kx}, (\lambda_0,\dots,\lambda_n)\in \mathbb R^{n+1} $

Analyse: on remarque que $ f $ a une limite finie $ lim_{+\infty} f=l_0 $. Si on répète l'opération à $ (f-l_0)exp $, on a aussi une limite finie $ l_1 $, etc.

On a alors le développement asymptotique pour tout $ n\in \mathbb N, f(x) =_{x\rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^n l_k e^{-kx} +o(e^{-nx}) $

Synthèse : On pose alors $ f_n(x) =\sum_{k=0}^n l_k e^{-kx} $

Cependant, je n'ai même pas la convergence simple au voisinage de 0. Au voisinage de l'infini, la par contre, j'ai convergence, mais pas uniforme.

Comment maîtriser ce qui se passe du côté de 0 ?

Merci d'avance !

[JeanN]

Tu cherches l'adhérence de $ vect(x\mapsto e^{-kx})_{k\in N} $ ?
Je ne comprends pas le statut de l'entier n dans ta question.

[Mourien]

C'est ça, il s'agit de caractériser l'adhérence de $ Vect(x\mapsto e^-{kx} ) _{k\in\mathbb N} $ pour la norme infinie.

[prepamath]

Bonjour !

Ton analyse est bonne. L'adhérence sera bien les fonctions qui ont une limite $\ell$ fini en $ +\infty $.


L'idée est de se ramener à des polynômes sur un segment dont les propriétés sont bien connus.
En posant $ u = e^{-x} $ pour $ x \in \mathbb{R}^+ $, tu as $ x = - \ln(u) $ et $ u \in [0,1] $.

En prenant $ f \in \mathscr{C}(\mathbb{R}^+) $ qui a une limite $ \ell $ en $ +\infty $, en considérant $ u \in [0,1] \mapsto f(-\ln(u)) $ et en justifiant qu'elle est prolongeable par continuité, en l'approchant par des polynômes et en refaisant le changement de variables, tu peux conclure !

[Mourien]

Merci prepamath !

En effet, le théorème de Weierstrass donne une approximation uniforme polynomiale de toute fonction continue depuis un segment. En ramenant continûment $ \mathbb R+ $ à $ [0,1] $ par $ x\mapsto e^{-x} $ comme tu le suggéres, on obtient une fonction continue (prolongeable en 0 car elle a une limite finie en l'infini).

Ainsi, il existe $ (P_n) $ une suite de polynômes tels que
$ \forall\epsilon >0, \exists n_0,\forall n\ge n_0,\forall u\in[0,1] \vert P_n(u) - f(-ln(u)) \vert \le\epsilon $
Ainsi $ \forall \epsilon>0,\exists n_0,\forall n\ge n_0, \forall x\in\mathbb R+, \vert P_n(e^{-x} ) - f(x) \vert \le \epsilon $