Théorème de convergence monotone

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Théorème de convergence monotone

Message par Mourien » 11 janv. 2021 17:14

Bonjour !
J'aimerais démontrer l'énoncé suivant:
Soit $ (f_n) $ une suite croissante de fonctions integrables sur un intervalle $ I $ de $ \mathbb R $, convergeant simplement vers $ f $. Montrer que

$ (\int_I f_n)_{n\ge 0} $ est majorée équivaut à l'intégrabilité de $ f $ et qu'alors on a $ lim_{n\rightarrow \infty} \int_I f_n = \int_I f $.
Un sens est immédiat par le théorème de convergence dominée. Pour l'autre sens, on a par théorème de la limite monotone la convergence de la suite des intégrales.
Mais ensuite, je bloque...
Si l'on peut exhiber une partition en segments non triviaux de I sur laquelle f est de signe constant, on pourrait peut être tenter des choses avec la monotonie des |f_n| (?), mais une telle partition n'existe pas à priori...
Auriez vous une indication ?
Merci d'avance et bonne soirée !
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Re: Théorème de convergence monotone

Message par JeanN » 11 janv. 2021 19:08

On sait des choses sur f ?
D'où vient cette question ?

En posant g_n=f_n-f_0, on devrait pouvoir s'en sortir, non ?
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Re: Théorème de convergence monotone

Message par Mourien » 11 janv. 2021 21:37

C'est un exo de mon td. J'ai oublié de préciser que $ f $ est continue par morceaux (mais c'est sous entendu puisqu'on se permet de l'intégrer). A part ça, on ne sait rien de plus !
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Re: Théorème de convergence monotone

Message par JeanN » 11 janv. 2021 23:02

Avec mon changement de fonction, on se ramène au cas d'une suite de fonctions positives.
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Re: Théorème de convergence monotone

Message par Mourien » 11 janv. 2021 23:21

Ah oui, et avec la positivité on peut faire des trucs !

On a $ \int_I g_n\le\int_I g $ dans $ \mathbb R_+ \cup \{+\infty\} $.

L'idée est ensuite de poser $ 0<c<1 $ et $ I_n=\{x\in I : g_n(x) \ge c g(x) \} $. Par croissance des $ g_n $, $ (I_n) $ est une suite croissante avec par convergence simple $ \cup_{n\in \mathbb N} I_n=I $. Or $ \int_{I_n} cg\le\int_{I_n} g_n\le\int_I g_n $ par positivité. Par bornitude, en faisant tendre $ n\rightarrow \infty $, $ \int_I cg $ converge et $ \int_I cg \le lim_{n\rightarrow \infty} \int_I g_n $. En faisant tendre $ c\rightarrow 1 $, il vient $ \int_I g = lim_{n\rightarrow} \int_I g_n $

L'intégrabilité de $ f $ et les résultats pour les $ fn $ et $ f $ s'en déduisent facilement.


Petite question, j'ai lu que le théorème de convergence dominée était implique par le théorème de convergence monotone. Le sens réciproque doit donc pouvoir se faire sans invoquer ce théorème ! Quelqu'un a une idée ?
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Re: Théorème de convergence monotone

Message par autobox » 11 janv. 2021 23:43

Mourien, ta première inégalité est fausse en général. Le lemme de Fatou donne l'inégalité dans l'autre sens, si c'est ce à quoi tu pensais. Il faut l'appliquer, comme le suggère JeanN à la suite des f_n-f0, puis retirer l'intégrale de f_0 de part et d'autre de l'inégalité obtenue.
Ici elle est vraie, en écrivant que f_n-f_0 <= f_{n+p}-f_0, puis en faisant tendre p vers l'infini, puis en intégrant, puis en retirant l'intégrale de f_0.

Le chemin habituel, c'est effectivement de montrer le TCM (sur les fonctions en escalier dans ce cas, puis étendre par densité) et le lemme de Fatou et ensuite appliquer ce dernier à une bonne suite de fonctions en lien avec la définition de la liminf comme sup de la suite des infs sur les queues de suite.
Le théorème de convergence dominée n'implique pas le TCM par contre, puisque sans rapport avec la croissance de la suite

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Re: Théorème de convergence monotone

Message par Mourien » 12 janv. 2021 10:36

D'accord, merci pour les précisions autobox ! Je vais me renseigner sur le lemme de Fatou !
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Re: Théorème de convergence monotone

Message par autobox » 12 janv. 2021 19:21

Voici quelques précisions.

1) D'abord, la preuve détaillée de la question en utilisant le lemme de Fatou.
On commence par remarquer que $ f\geqslant f_0 $. C'est trivial, puisqu'il suffit de passer à la limite dans $ f_n\geqslant f_0 $...
Plus généralement, pour tous $ n $ et $ p $, on a $ f_{n}\leqslant f_{n+p} $, donc en faisant tendre $ p $ vers l'infini, on a aussi $ f\geqslant f_n $ qui tombe automatiquement.

Ceci ayant été fait, on va pouvoir appliquer le lemme de Fatou à la suite de fonctions positives $ (g_n) $ avec $ g_n = f_n-f_0 $ ; qui converge vers $ f-f_0 $, fonction positive. Note que rien ne prouve que f soit continue ou continue par morceaux et la convergence n'est pas forcément uniforme. Elle l'est, par contre, si $ I $ est compact et f continue en vertu du théorème de Dini. Je le précise, parce que cette partie peut poser problème en prépa, mais en réalité ces théorèmes sont vrais pour des fonctions beaucoup moins régulières que continues. Dans toute la suite, je supposerai que la continuité de $ f $ fait partie des hypothèses.

Lemme de Fatou je disais : dans $ \overline{\mathbb{R}} $, on a $ \int_I |f| = \int_I |f-f_0+f_0| \leqslant \int_I |f-f_0| + \int_I |f_0| = \int_I (f-f_0) + \int_I |f_0| \leqslant \liminf \int_I (f_n-f_0) + \int_I |f_0| = \liminf \int_I f_n + \int_I (|f_0|-f_0) $

Mais par hypothèse, il existe $ M>0 $ tel que $ \forall n, \int_I |f_n| \leqslant M $. Cela implique en particulier $ \liminf \int_I |f_n| \leqslant M $ et aussi $ \int_I |f_0|-f_0 \leqslant 2M $, d'où $ \int_I |f| \leqslant 3M < \infty $ et $ f $ est bien intégrable sur $ I $.

Réciproquement, si f est intégrable, l'inégalité de fonctions positives $ f_n-f_0\leqslant f-f_0 $ implique que pour tout $ n $, $ \int_I |f_n| \leqslant \int_I f-f_0 + \int_I |f_0| $. On a trouvé un majorant uniforme des intégrales des $ |f_n| $ : la suite demandée est bornée. D'où l'équivalence cherchée.

Reste à montrer l'égalité, qui est assez facile.
Déjà, la limite existe à coup sûr puisque $ (\int_I f_n) $ est croissante et majorée... Quant à la valeur, tout est conséquence cette fois-ci du théorème de convergence monotone, toujours sur la suite $ (g_n) $, qui est croissante, positive et tend vers la limite $ f-f_0 $, positive et continue.



2) Bien, maintenant, une preuve du lemme de Fatou. Soit $ (h_n) $ une suite de fonctions intégrables positives et soit $ h = \liminf h_n $ intégrable. Pour rappel, $ \displaystyle\liminf_{n\to\infty} h_n $ est une fonction toujours bien définie à valeurs dans $ \overline{\mathbb{R}} $. C'est en fait $ \displaystyle\sup_{n} \inf_{k\geqslant n} h_k $.
On pose pour tout n, $ t_n = \displaystyle\inf_{k\geqslant n} h_k $. Cela définit une suite de fonctions positives, intégrables (car majorées par $ h_n $) et croissante (plus l'ensemble est gros et plus l'inf est petit). Puisque la suite des intégrales des $ h_n $ est bornée, la suite des intégrales des $ t_n $ est convergente (croissante et majorée). La limite est le sup, justement.
On applique le TCM à la suite t. On trouve que $ \lim \int_I t_n = \int_I h $. Sauf que, en majorant chaque $ t_n $ par $ h_n $, on a bien $ \int_I h \leqslant \liminf \int_I h_n $, ce qu'il fallait démontrer.

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Re: Théorème de convergence monotone

Message par Mourien » 12 janv. 2021 20:00

Wow, merci pour ces précisions détaillées !

Ça me fait penser à cet exo qui permet d'intégrer juste avec la convergence simple ( :shock:)
Soit $ (f_n) $ positives intégrables sur I un intervalle de R convergent simplement vers $ f $ non intégrable. Montrer que $ lim_{n\rightarrow +\infty} \int_I f_n =+\infty $
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Re: Théorème de convergence monotone

Message par autobox » 12 janv. 2021 23:34

Il suffit en effet d'appliquer Fatou pour arriver à une contradiction si la limite est finie.
L'intégrale d'une fonction positive a toujours un sens (dans un compactifié), du moment qu'elle a la régularité minimale de ta théorie de l'intégration (mesurable, continue par morceaux, etc)

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