Nature d'une série alternée

[joM5jo]

Bonjour bonsoir !
Je cherche à déterminer la nature de la série suivante : $ \sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}\sin(\frac{1}{n})} $
J'ai beaucoup de mal à en découdre j'ai essayé le critère spécial de convergence des séries alternées mais en vain puisque la suite de la valeur absolue du terme général n'est pas décroissante et ne tend pas vers $ 0 $ (ça tend même vers $ +\infty $).
Et la convergence absolue est inutile aussi puisque le terme générale en valeur absolu est équivalent à $ \sqrt{n} $.
Tout cela laisse à penser que la série diverge
Merci à vous !

[autobox]

Petite astuce à retenir quand t'as des sinus et des puissances de n :

sqrt(n).sin(1/n) = 1/sqrt(n) . sinc(1/n)
où sinc est le sinus cardinal, qui tend vers 1 en 0

Ce truc tend vers 0, donc son inverse tend vers l'infini, équivalent à sqrt(n), on est d'accord.
Mais à vue de nez je dirais que ça doit être possible de l'écrire comme une transformée de Fourier

[joM5jo]

Petite astuce à retenir quand t'as des sinus et des puissances de n :

sqrt(n).sin(1/n) = 1/sqrt(n) . sinc(1/n)
où sinc est le sinus cardinal, qui tend vers 1 en 0

Ce truc tend vers 0, donc son inverse tend vers l'infini, équivalent à sqrt(n), on est d'accord.
Mais à vue de nez je dirais que ça doit être possible de l'écrire comme une transformée de Fourier

Merci pour votre réponse, j'aimerai juste préciser qu'il fait résoudre la question avec un niveau SUP
Transformée de Fourier tout ça je ne sais pas ce que c'est

[prepamath]

Que sais-tu du terme d'un série convergente ?

SPOILER:

il tend vers zéro

Donc à propos de son module ?

SPOILER:

Il tend vers zéro

Conclusion ?

[autobox]

Ok désolé, alors niveau sup, note $ (S_n) $ la suite des sommes partielles.
Suppose que $ (S_n) $ converge vers une limite $ L $, finie. Alors $ S_{n}-S_{n-1} \xrightarrow[n\to +\infty]{} L-L = 0 $.
Mais $ S_n-S_{n-1} = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}\sin(1/n)} $ ne converge même pas, puisque sa valeur absolue tend vers l'infini...

[JeanN]

Bonjour bonsoir !
Je cherche à déterminer la nature de la série suivante : $ \sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}\sin(\frac{1}{n})} $
J'ai beaucoup de mal à en découdre j'ai essayé le critère spécial de convergence des séries alternées mais en vain puisque la suite de la valeur absolue du terme général n'est pas décroissante et ne tend pas vers $ 0 $ (ça tend même vers $ +\infty $).
Et la convergence absolue est inutile aussi puisque le terme générale en valeur absolu est équivalent à $ \sqrt{n} $.
Tout cela laisse à penser que la série diverge
Merci à vous !

Vu que ton terme général ne tend pas vers 0, il n'y a pas besoin de faire de choses trop compliquées pour conclure.

[joM5jo]

Alors là il fallait voir juste près de son nez Merci tout le monde j'ai bien compris !