i = √(-1) ?

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i = √(-1) ?

Message par L'HeureuxEnCPGE » 10 mars 2022 23:55

Bonjour,

Depuis qu'on nous a introduit les nombres complexes, on nous a répété de ne pas écrire i = √(-1).
Mais récemment je me suis posé beaucoup de questions sur cette notation interdite, car je la vois écrite partout par les non français, y compris par des profs d'universités et la France paraît être une exception là-dessus.

J'ai pu lire que c'était interdit seulement car on a peur que les élèves appliquent √a×√b = √(ab) pour a<0 et b<0 (dans cette vidéo par exemple: https://youtu.be/p7h39MgaCks) . J'ai aussi lu qu'on ne pouvait pas rigoureusement la définir car pour la fonction racine carrée on a du choisir si ses images allaient se trouver dans ℝ+ ou ℝ-, ce qui pose problème dans ℂ dépourvu d'ordre total. Que celle-ci posait des problèmes de rigueur pour l'étude des fonction de ℂ dans ℂ. Ou encore que c'est simplement parce que √ est une fonction qui a été définie de ℝ+ dans ℝ+, c'est comme ça et c'est tout.
Je ne trouve donc malheureusement aucune information convaincante et claire quant à la rigueur de cette notation.

Quelqu'un saurait-il m'expliquer quel est le sens de cet interdit et pourquoi il semble n'en être un qu'en France ?
La question s'éloigne un peu des cours de maths, alors merci beaucoup à ceux qui répondront :D
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Re: i = √(-1) ?

Message par U46406 » 11 mars 2022 08:20

Y a des gens qui ont essayé, et qui se sont finalement bien plantés...


« cette présentation sous forme de racine carrée laisse la porte ouverte à la tentation d'appliquer à celle-ci les règles connues sur les nombres positifs en particulier celle sur le produit »

« C'est ce que Study appelle le principe de permanence »

« Principe consistant à généraliser aux complexes les propriétés connues sur l'ensemble des réels »

https://fr.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A ... #Notations


Article détaillé : Histoire des nombres complexes.

« À cette époque (17ème et 18ème siècles), on ne se préoccupe pas de la convergence des séries proposées et on généralise les formules vues sur des quantités réelles selon le principe de permanence »

E. Study et É. Cartan, « Les nombres complexes », dans Ency. Sci. Math., vol. 1, t. 1, 1908

https://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_ ... Cartan1908


« Les mathématiciens tentent d'appliquer à ces nouvelles quantités les fonctions qu'ils connaissaient pour les quantités réelles en utilisant un principe de permanence »

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_co ... te_note-16
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Re: i = √(-1) ?

Message par U46406 » 11 mars 2022 08:32

L’article sur l'histoire des nombres complexes donne plein d’informations d’ordre historique :

« En 1777, Euler s'affranchit de la dernière notation ambiguë en remplaçant √–1 par la lettre i »

Le passage à la géométrie, par un arpenteur, etc...
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Re: i = √(-1) ?

Message par L'HeureuxEnCPGE » 23 mars 2022 20:35

Merci pour cette réponse. Si je comprends bien c'est donc simplement par convention et pour éviter les erreurs qu'on n'écrit pas √(-1).
Et cette convention n'est juste pas la même partout.
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Re: i = √(-1) ?

Message par LapinouX » 27 mars 2022 00:08

Salut,
En fait je crois que le problème vient du fait qu'il est impossible de définir "proprement" i avec une racine (juste en considérant que i est racine de X^2 + 1, de même que pour sqrt(2) et compagnie). En effet si on dit que i est racine de ce polynôme, alors i est permutable avec -i. Par exemple pour le degré 2 si on prends X^2 = w, on trouve 2 racines opposées, et si on fait varier w suivant le cercle de rayon module de w et de centre 0, alors w revient à sa place mais les deux racines ont été permuté. Ceci met en valeur que sqrt est une fonction multiforme et qu'il est donc vain de vouloir décrire i avec sqrt(-1) (puisque sqrt(-1) peut valoir i ou -i du coup, et il est impossible de dire quelle valeur ça prends).
Après sinon (à part au lycée) ça pose de problème à personne de voir écrit sqrt(-1).

PS : Ce genre de magouille de permutation de racine est au coeur de la théorie de Galois "original".
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Re: i = √(-1) ?

Message par noiraud1 » 28 mars 2022 17:34

D'abord c'est une très bonne question, dont la réponse se trouve dans le cours de licence de maths fondas d'analyse complexe. Si les profs de maths en France interdisent d'écrire √(-1) c'est que l'application
racine carrée ne peut pas se prolonger de façon continue de C dans C (où C est le corps des nombres complexes). Or, écrire "√(-1)" sous-entend qu'une telle application racine carrée existe et est bien définie.

Par exemple, si on reste sur le cercle trigonométrique et qu'on part de 1 dans le sens des aiguilles d'une montre. Pour 0 <= x < 2\pi, on peut décider de définir la racine carrée de exp(ix) comme exp(ix/2). Mais
si on fait ça, et qu'on prend la suite x_n=exp(i(2\pi-\pi/n)), alors y_n= √x_n=exp(i\pi(1-1/2n)) de sorte
que y_n converge vers exp(i\pi)=-1. Or si l'application √ était continue, la limite de cette suite devrait être égale à 1 puisque x_n converge vers 1. Ainsi cette définition naïve ne marche pas et on peut plus généralement montrer qu'un tel prolongement continu de √ à tout le plan complexe est impossible.

Ceci étant dit, il est possible de définir √ de façon continue et même analytique (comme série entière) sur des domaines plus petits que C.

Lorsque des mathématiciens emploient la notation "√(-1)", ils veulent juste dire qu'ils considèrent un
nombre dont le carré est égal à -1.

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Re: i = √(-1) ?

Message par L'HeureuxEnCPGE » 09 avr. 2022 21:19

Merci beaucoup pour vos réponses claires et précises ! Je comprend mieux maintenant.
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