probleme des allumettes (prepa)

[benoitJo]

Bonjour, je me souviens d un exercice en prepa mais impossible de me rappeler de la solution!

le probleme est le suivant: on dispose de N = n*(n+1) /2 allumettes disposees en tas de tailles quelconques, on itere alors le procede suivant.

on retire une allumette de chaque tas et on forme un nouveau tas avec celles ci.
L exercice est de prouver que ce processus converge toujours vers la configuration ou les tas ont les tailles (1/2/3/../n)

par exemple si n= 2 on a N = 3 allumettes par exemple chacune seule dans son tas donc la config de depart est (1/1/1)
on en retire une a chaque tas et forme un nouveau tas de 3 allumettes donc (3) et ensuite on retire une du tas de 3 et on obtient (1/2)
cette derniere configuration etant stable on reste a (1/2)

je crois me rappeler que la preuve requiert une recurrence un peu speciale mais c est tres flou dans ma memoire ... si quelqu un peut m aider?

[benoitJo]

Il s'avere que ce probleme est connu sous le nom du Solitaire Bulgare
https://en.wikipedia.org/wiki/Bulgarian_solitaire
https://arxiv.org/pdf/1503.00885v1.pdf

[dSP]

C'est un très joli problème, mais c'est une question complètement typée Olympiades et qui se traite sans utiliser quoi que ce soit du programme de Mathématiques de classes préparatoires...