Salut,
Dans la partie des compléments de cours de spé, le prof définit la précompacité et je comprends la plupart des propriétés mais il y a un exemple que je ne comprends pas : si d(x,y)=|arctan(x)-arctan(y)| alors (R,d) est précompact.
J'ai essayé avec la définition : soit e>0. Il faut trouver un entier N et N points x_1, ..., x_N de R tels que R est la réunion des boules ouvertes de centre x_i et de rayon e.
Je vois bien que pour tous reels x et y, d(x,y)<pi ce qui doit surement servir mais j'ai du mal a mettre en forme.
Merci de votre aide.
Précompact
Re: Précompact
J'ai trouvé mais pas tres propre :/
Re: Précompact
Bonjour,
Voici une façon de faire.
Tu peux d'abord commencer par le cas où $ \epsilon $ est de la forme $ \frac{1}{N} $.
Est ce que tu vois pourquoi si tu arrives à partager l'intervalle $ [- \pi/2, \pi/2 ] $ en N parts de même taille tu réponds à la question ? (Pour le faire tu peux penser à des discrétisations qui interviennent dans le calcul numérique d'une intégrale).
Ensuite tu prends le cas où $ \epsilon $ est quelconque, il existe un $ N $, tel que $ 1/N< \epsilon $. Tu peux avoir un recouvrement fini avec des boules de rayon $ 1/N $ avec l'étape précédente. A partir de ce recouvrement ce n'est plus très dur de trouver un recouvrement fini avec des boules de rayon $ \epsilon $.
Voici une façon de faire.
Tu peux d'abord commencer par le cas où $ \epsilon $ est de la forme $ \frac{1}{N} $.
Est ce que tu vois pourquoi si tu arrives à partager l'intervalle $ [- \pi/2, \pi/2 ] $ en N parts de même taille tu réponds à la question ? (Pour le faire tu peux penser à des discrétisations qui interviennent dans le calcul numérique d'une intégrale).
Ensuite tu prends le cas où $ \epsilon $ est quelconque, il existe un $ N $, tel que $ 1/N< \epsilon $. Tu peux avoir un recouvrement fini avec des boules de rayon $ 1/N $ avec l'étape précédente. A partir de ce recouvrement ce n'est plus très dur de trouver un recouvrement fini avec des boules de rayon $ \epsilon $.
Re: Précompact
J'ai réussi en passant par tangente, pas exactement comme vous le mentionnez mais votre message m'y a fait penser merci !