Salut,
Dans mon TIPE, j'utilise la notion de groupe libre et en relisant mon rapport, un ami m'a posé une question apparemment anodine mais que je ne suis pas capable de savoir justifier proprement, même si ça paraît assez évident. Pourtant, ce point là est nécessaire pour définir le groupe libre.
Lorsqu'on a un ensemble quelconque E, est-ce qu'il existe toujours un ensemble F et une bijection f de E vers un ensemble F tels que E et F soient disjoints ?
Justification groupe libre
Re: Justification groupe libre
D'abord il est étonnant que vous ayez besoin d'un tel énoncé pour la théorie des groupes libres. Il est probable que cela résulte d'un mauvais choix de modélisation des objets.
Voici tout de même une réponse.
Le cas fini où $ E $ est fini est facile. La réponse, dans le cas où $ E $ est infini, dépend probablement du système d'axiomes choisi pour la théorie des ensembles.
Dans le plus classique, dit ZFC (Zermelo-Fraenkel + choix), la réponse est positive et
peut être obtenue par l'une des deux méthodes suivantes.
(1) Avec la théorie des cardinaux infinis. On prend l'ensemble $ P(E) $ des parties de $ E $. On sait que son cardinal est strictement supérieur à celui de $ E $, et donc à celui de $ E \cap P(E) $. Ainsi, le complémentaire de $ P(E) \cap E $ dans $ P(E) $ ne peut être de cardinal inférieur ou égal à celui de $ E $, sinon la théorie des cardinaux infinis indiquerait que $ P(E)=(P(E) \setminus E) \cup (P(E) \cap E) $
est de cardinal inférieur ou égal à celui de $ E $. Par suite, il existe une injection de $ E $ dans $ P(E) \setminus E $.
(2) Avec la théorie des ordinaux. Il existe une bijection $ f $ de $ E $ sur un ordinal $ \kappa $. L'ensemble des ordinaux qui appartiennent à $ E $ est strictement majoré par un ordinal $ \gamma $ (comme l'est tout ensemble d'ordinaux). Alors $ x \in E \mapsto f(x)+\gamma $ est clairement injective et son image ne contient aucun élément de $ E $.
Voici tout de même une réponse.
Le cas fini où $ E $ est fini est facile. La réponse, dans le cas où $ E $ est infini, dépend probablement du système d'axiomes choisi pour la théorie des ensembles.
Dans le plus classique, dit ZFC (Zermelo-Fraenkel + choix), la réponse est positive et
peut être obtenue par l'une des deux méthodes suivantes.
(1) Avec la théorie des cardinaux infinis. On prend l'ensemble $ P(E) $ des parties de $ E $. On sait que son cardinal est strictement supérieur à celui de $ E $, et donc à celui de $ E \cap P(E) $. Ainsi, le complémentaire de $ P(E) \cap E $ dans $ P(E) $ ne peut être de cardinal inférieur ou égal à celui de $ E $, sinon la théorie des cardinaux infinis indiquerait que $ P(E)=(P(E) \setminus E) \cup (P(E) \cap E) $
est de cardinal inférieur ou égal à celui de $ E $. Par suite, il existe une injection de $ E $ dans $ P(E) \setminus E $.
(2) Avec la théorie des ordinaux. Il existe une bijection $ f $ de $ E $ sur un ordinal $ \kappa $. L'ensemble des ordinaux qui appartiennent à $ E $ est strictement majoré par un ordinal $ \gamma $ (comme l'est tout ensemble d'ordinaux). Alors $ x \in E \mapsto f(x)+\gamma $ est clairement injective et son image ne contient aucun élément de $ E $.
Dernière modification par dSP le 31 janv. 2024 18:00, modifié 1 fois.
Professeur de Mathématiques en MP*/MPI* au lycée Hoche
Re: Justification groupe libre
Merci je pense que j'ai compris avec le (1).
Re: Justification groupe libre
OK, j'ai corrigé une formulation incorrecte dans (1).
Professeur de Mathématiques en MP*/MPI* au lycée Hoche