Relation de divisibilité dans un anneau

[Mathavorus]

$ $Bonjour,

Quelqu'un aurait-il un exemple d'anneau commutatif $A$ tel qu'il existe deux éléments $a$, $b$ dans $A$ avec $b$ non nul tel que pour tout $n$ appartenant à $\mathbb{N}$ strictement positif, $a^n$ divise $b$ ?

Merci !

[Contrexemple]

Bonjour,

Quand $a,b$ sont des élèments inversibles de $A$.

Bonne journée.

[Mathavorus]

Bonjour,

Merci pour la correction.
Je voulais bien entendu dire quand $a$ et $b$ sont non inversibles (éviter les cas triviaux).

[dSP]

Ce n'est pas tant une question d'inversibilité que d'intégrité. La relation de divisibilité n'est pas très intéressante dans un anneau non intègre, et un exemple très simple est fourni par $ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $ avec $ a=b=(1,0) $.

ll est plus délicat de produire des exemples où l'anneau est intègre. L'exemple le plus simple semble être le suivant : on prend le corps $ \mathbb{Q}(X) $ des fractions rationnelles en une indéterminée $ X $ à coefficients rationnels, et son sous-anneau $ A $ engendré par les éléments de la forme $ 2^{-n} X $ où $ n \in \mathbb{N} $ (autrement dit l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients entiers de produits de monômes de cette forme). On observe alors que $ b:=X $ est bien divisible par toute puissance de $ a:=2 $ dans $ A $, mais que $ a $ n'est pas inversible (examiner le coefficient constant d'un élément de $ A $ vu comme polynôme selon $ X $).

[Mathavorus]

C'est exactement cela que je recherchais, merci beaucoup !