Invariance du rang

[Baptiste Sotonyi]

Bonjour !

Soit $ E $, $ F $, $ G $ et $ H $ quatre $ \mathbb{K} $-ev quelconques, $ \phi $ un isomorphisme de $ G $ vers $ E $ et $ \psi $ un isomorphisme de $ F $ vers $ H $.

Si $ u\in\mathcal{L}(E,F) $ est de rang fini alors $ \psi\circ u\circ\phi $ est de rang fini et $ rg(\psi\circ u\circ\phi)=rg(u) $.

Pourquoi ?

Bien à vous !

[Mathavorus]

Le rang d'une application linéaire est la dimension de l'image de cette application linéaire.
Si $\phi : G \to E$ et $\psi : F \to H$ sont des isomorphismes, en particulier :
1. D'une part $\phi$ est bijective donc surjective, donc $\phi(G) = E$ d'où $u(\phi(G))=u(E)$
2. D'autre part comme $\psi$ est un isomorphisme, $(e_i)_{i \in I}$ est une base de $F$ si et seulement si $(\psi(e_i))_{i \in I}$ est une base de $H$ d'où $rg (\psi \circ u) = rg(u)$.

De ces deux observations on tire le résultat.

[Baptiste Sotonyi]

Je ne comprends pas pourquoi on en tire le résultat.

[Mathavorus]

Réfléchis 30 ou 45 minutes, en relisant la première phrase de mon message (la définition du rang d'une application linéaire) et en essayant de faire la démonstration en t'aidant des deux points que j'ai donnés.
5 minutes de réflexion ne sont en général pas suffisantes.

[Baptiste Sotonyi]

Je viens de comprendre, un grand merci !