Mystérieuse égalité entre deux limites

[Baptiste Sotonyi]

Bonsoir,

pourquoi (ou pas, s'il y a erreur) pouvons-nous dire que :

$
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x}
$ ?

Bien à vous.

[Khadmus]

Salut, l'égalité est fausse, à gauche la limite est 1/3 et à droite aussi elle vaut 1/3. Tu peux voir ça en utilisant un développement limiter en 0 de (1+x)^a.

[Moh_Djezzar]

Bonsoir, si tu poses f la fonction prolongée en 0 par continuité, alors par composition de deux fonctions continues (f et x|--> x²) aux points concernés l'égalité est vrai

Deuxième argument: tu fais un dl et tu te retrouves avec 1/3 pour les deux, d'où l'égalité

[zygomatique]

salut

posons $ f(x) = \sqrt [3]{1 + x} $

le membre de droite est le taux de variation de f entre les réels 0 et x : $ t(x) = \dfrac {f(x) - f(0)} x $

le membre de gauche est le taux de variation de f entre les réels 0 et $ x^2 $ : $ t(x^2) = \dfrac {f(x^2) - f(0)} {x^2} $

et pour tout fonction g le taux de variation de f entre les réels 0 et g(x) est $ t(g(x)) = \dfrac {f(g(x)) - f(0)} {g(x)} $

si de plus g est continue et tend vers 0 en 0 alors $ \lim_{x \to 0} t(g(x)) = f'(0) $

attention : le taux de variation $ t(g(x)) $ de la fonction f n'est pas le taux de variation $ t(x) $ de la fonction $ f \circ g $